0으로 나누기 문서 원본 보기

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[[파일:Hyperbola one over x.svg|섬네일|300px|
<math>y = \frac{1}{x}</math>꼴의 반비례 그래프. 한 변수의 값이 0에 가까워질수록 다른 변수의 값은 무한대로 발산한다.(<math>x</math>=0일 때는 정의되지 않는다.)]]
'''0으로 나누기'''(<math> x \div 0</math>)는 어떤 숫자를 [[0]]으로 나누는 [[나눗셈]]을 수행하는 것이지만 일반적으로 나눗셈 연산은 0으로 나누는 경우를 정의하지 않기 때문에 수학적 의미는 없다. 어떤 수에 0을 곱하면 [[0]]이 된다. 반대로, 0을 0으로 나누면 0을 곱한 결과가 항상 0인데, 0이 어떤 수에 0을 곱한 결과와 같아야 하기 때문이다. 그러한 식이 성립하는 수는 어떤 수에 0의 곱한 결과가 항상 [[0]]이므로 모든 수가 되어 그 값을 하나로 정할 수 없다. 이것은 [[수학의 미해결 문제|미해결 문제]]나 연구 금기 사항이 아니며, 단지 값을 정의할 필요가 없을 뿐이다. 

몇몇 이론(예: [[이원수_(수학)|이원수]])이 제한적인 형태로 <math> x \div 0</math>와 같은 형태를 정의하기도 하며, 또는 단순히 숫자 값이 아니라 분수 자체를 기호로 사용할 경우도 있다.

[[컴퓨터 프로그래밍]]에서는 어떤 수를 0으로 나누는 경우 오류를 발생시키거나, [[NaN]], 또는 무한대를 반환한다. 컴퓨터 프로그래밍은 <math> A \div B</math>를 A에 B로 몇 번 뺄 수 있느냐로 인식하기 때문이다. 이 경우 그 [[몫]]은 [[무한대]]가 되며, [[나머지]]는 없다. 하지만 대부분의 프로그램은 계속 0을 빼 [[무한 루프]]에 걸리는 것을 방지하기 위해서 처음부터 지정된 값을 반환한다.

== 개요 ==
[[나눗셈]]은 일반적으로 [[곱셈]]의 [[역연산]]으로 정의된다. 즉, 어떤 <math>y</math>와 <math>z</math>에 대해

:<math>x \times y = z</math>

인 <math>x</math>가 유일할 때, 나눗셈은

:<math>x = z \div y</math>

와 같이 정의된다.

이때 <math>y</math>가 <math>0</math>일 경우 <math>x</math>의 값에 관계없이 <math>z</math>는 항상 <math>0</math>이 되고,

<math>x \times  0  =  0</math>

에서 <math>x</math>의 가능성은 무한히 많아 하나로 정해지지 않는다. 따라서 <math>x</math>는 [[부정]](값을 하나로 정할 수 없음)이다. 만약 <math>z</math>가 0이 아니라면, 해당 나눗셈은

<math>x \times  0  =  z</math>

으로 표현할 수 있다. 하지만 모든 수는 0과 곱하면 0이 되므로, <math>z</math>가 0이 아닐 때 <math>x</math>의 값은 아예 존재하지 않는다(불능).


어떤 수를 <math>0</math>으로 나누는 것은 불가능하지만, <math>0</math>을 <math>0</math>이 아닌 수로 나누는 것은 가능하다. <math>0</math>이 아닌 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것이고, <math>0</math>에 어떤 수를 곱해도 <math>0</math>이 되므로, <math>0</math>을 <math>0</math>이 아닌 수로 나눈 결과는 언제나 <math>0</math>이 된다.

또 다른 증명 방법은 A≠0, B=0이라고 했을 때, A/B=C라고 하면 A/0=C가 된다. 0보다 작은 자연수는 없기 때문에 0으로 나눌 때 당연히 나머지가 없으며, A/0=C를 곱셈식으로 바꾸면 C*0=A가 된다. 그러면 0을 곱하면 항상 답이 0이므로 0으로 나눌 수 없다.
이제 A=0, B=0이라고 했을 때, A/B의 값을 알아보자. A/B=x라고 했을 때, 0/0=x가 되어 곱셈식으로 변환하면 x*0=0이 된다. 0에 0을 곱하면 항상 0이므로 이 경우에는 답이 무수히 많게 된다. 따라서 A/B=C라는 식에서 B가 0이면 그 식은 쓰지 못하게 된다.
또한 A/B=C에서 A≠0, B=0일 때를 [[불능]], A=0, B=0일 때를 [[부정 방정식|부정]]이라고 한다.

== 극한 ==

흔히 <math>\textstyle\frac{1}{0}=\infty</math>라고 하는 것은 실제로는 <math> \lim_{x \to0^+}\frac{1}{x}=\infty</math>를 간단히 나타낸 것이다. <math>\textstyle\frac{1}{0}</math>은 수식으로서는 의미가 없지만, <math>\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}</math>은 0보다 크면서 0으로 수렴하는 수열 또는 함수 <math>\textstyle\frac{1}{x}</math>의 극한을 뜻하는 것이므로 0으로 나누기와는 다르다.

이와 비슷한 식인 <math>\textstyle\frac{1}{\infty}=0</math>도 무한대(<math>\textstyle\infty</math>)가 수가 아니므로 수식으로는 무의미하며, <math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>를 간단히 나타낸 것에 불과하다. 참고로<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>을 <math>\textstyle\frac{1}{\infty}=0</math>으로 간단히 나타낼 수 있는 이유는 무한대를 <math>x</math>에 넣으면 되기 때문이다.

<math>\textstyle\frac{0}{0}</math>은 분수 형태의 극한에서 분자와 분모가 각각 모두 0으로 수렴하는 형태, 즉 <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}</math>에서 <math>\lim_{x \to a} f(x)</math>와 <math>\lim_{x \to a} g(x)</math>가 모두 0인 것을 나타내는 편의적인 기호로 사용된다. [[로피탈의 정리]]에서 이러한 형태의 극한을 구하는 방법이 있고, 마찬가지 의미로 <math>\textstyle\frac{\infty}{\infty}</math>, <math>\textstyle0 \cdot \infty</math> 등도 특수한 극한 형태를 나타낸다.

== 리만 구 ==
[[리만 구]]의 집합은 <math>\textstyle\mathbb{C}\cup\{\infty\}</math>으로, 이때의 <math>\infty</math>는 무한히 멀리 떨어져 있는 점을 의미한다. 여기에서는 <math>\textstyle\frac{1}{0}=\infty</math>로 정의되며, <math>\textstyle\frac{0}{0}</math>은 정의되지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[분수 (수학)|분수]]
* [[0]]
* [[+0]]
* [[-0]]
* [[1]]

[[분류:분수]]
[[분류:0]]
[[분류:나눗셈]]
[[분류:소프트웨어 버그]]