힐베르트 영점 정리 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''힐베르트 영점 정리'''(Hilbert零點定理, {{lang|en|Hilbert's {{lang|de|Nullstellensatz|눌슈텔렌자츠}}}})는 [[대수적으로 닫힌 체]]의 [[다항식]] 환의 [[아이디얼]]이 정의하는 [[대수다양체|대수 집합]]을 근으로 갖는 [[극대 아이디얼]]이 원래 아이디얼의 [[소근기]]라는 정리다. 대수기하학의 가장 근본적인 정리 중 하나로서, 대수적인 성질과 기하학적인 성질을 연관짓는다.

== 정의 ==
<math>k</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하자. <math>K</math>가 <math>k</math>의 [[대수적으로 닫힌 체|대수적으로 닫힌]] [[체의 확대|확대]]라고 하자. <math>I</math>가 [[다항식환]] <math>k[x_1,x_2,\dotsc,x_n]</math>의 [[아이디얼]]이라고 하자.

[[다항식환]] <math>k[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>의 [[아이디얼]] <math>J</math>에 대하여, 그 아이디얼의 영점(근의 집합)의 교집합 <math>\mathcal V(J)\subset K^n</math>를 정의할 수 있다. (여기서 <math>K^n</math>는 <math>K</math>에 대한 <math>n</math>차원 [[아핀 공간]]이다.) <math>\mathcal V(J)</math>는 정의상 [[대수다양체|대수 집합]]을 이룬다. 또한, 대수적 집합 <math>W\subset K^n</math>가 주어지면, 그 영점이 <math>W</math>를 포함하는 다항식들의 집합 <math>\mathcal I(W)\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>를 정의할 수 있다. 이는 [[아이디얼]]을 이룬다.

'''힐베르트 영점 정리'''는 다음과 같다. 다항식환의 아이디얼 <math>J\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>에 대하여,
:<math>\mathcal I(\mathcal V(J))=\sqrt J</math>
이다. 여기서 <math>\sqrt J</math>는 <math>J</math>의 [[소근기]]이다.

특히, <math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체|대수적으로 닫힌]] 경우 (<math>k=K</math>), <math>\mathcal V</math>와 <math>I</math>는 <math>k[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>의 [[반소 아이디얼]]의 집합과 <math>k^n</math>의 [[대수다양체|대수 집합]]의 집합 사이의 [[전단사 함수]]이며, 서로의 [[역함수]]이다. [[다항식환]]의 [[소 아이디얼]]은 <math>K^n</math>의 [[대수다양체]](기약 대수 집합)에 일대일로 대응한다.

=== 약한 형태 ===
'''약한 힐베르트 영점 정리'''({{lang|en|weak Nullstellensatz}})는 다음과 같다. 만약 아이디얼 <math>J\subset k[x_1,\dotsc,x_n]</math>이 단위 아이디얼이 아니라면 (<math>J\ne k[x_1,\dots,x_n]</math>), <math>J</math>는 영점을 가진다 (<math>\mathcal V(J)\ne\emptyset</math>).

만약 <math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]인 경우, <math>k[x_1,\dots,x_n]</math>의 모든 [[극대 아이디얼]] <math>J</math>는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>J=(x_1-a_1, \dots, x_n-a_n)</math> (<math>a_i\in k</math>).

== 역사와 어원 ==
[[다비트 힐베르트]]가 1893년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용||저널={{lang|de|Mathematische Annalen}}|날짜=1893-09-01|권=42|호=3|쪽=313-373|제목={{lang|de|Ueber die vollen Invariantensysteme}}|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|doi=10.1007/BF01444162|issn=0025-5831|언어=de|jfm=25.0173.01}}</ref> 이 정리의 독일어명 {{llang|de|Nullstellensatz|눌슈텔렌자츠}}는 {{lang|de|Null|눌}}(영) + {{lang|de|Stellen|슈텔렌}}(위치들) + {{lang|de|Satz|자츠}}(정리)의 합성어이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|언어=en|성=Hartshorne|이름=Robin|저자링크=로빈 하츠혼|연도=1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|위치=New York|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90244-9}}
* {{서적 인용|언어=en|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|연도=2004|제목=Abstract algebra|판=3|위치=New York|출판사=Wiley|isbn= 978-0-471-43334-7|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|oclc=248917264}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hilbert theorem}}
* {{eom|title=Effective Nullstellensatz}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Nullstellensatz|제목=Nullstellensatz|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:기하학 정리]]
[[분류:대수학 정리]]
[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:다비트 힐베르트]]