힐베르트 스킴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서, '''힐베르트 스킴'''({{llang|en|Hilbert scheme}})은 어떤 [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[부분 스킴]]들의 [[모듈라이 공간]]인 스킴이다. 모든 [[사영 대수다양체]]는 힐베르트 스킴을 가진다. 이 경우, 섬세한 모듈러스 공간의 정의에서, 부분 스킴의 족은 [[평탄 사상]]을 뜻한다. 평탄 사상의 올들은 같은 [[힐베르트 다항식]]을 가지므로, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대응하는 성분들로 분해된다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>K</math>
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>S</math>, <math>X</math> 및 [[스킴 사상]] <math>T \to K \leftarrow X</math>. 즉, <math>S/K</math>와 <math>X/K</math>는 <math>K</math> 위의 [[스킴 (수학)|스킴]]이며, [[조각 범주]] <math>\operatorname{Sch}/K</math>의 대상이다.
그렇다면, '''<math>K</math> 위의, 매개 변수 공간 <math>S</math>에 대한 <math>X</math>의 [[부분 스킴]]의 족'''({{llang|en|family of subschemes of <math>X</math> parametrized by <math>S</math>}})은 [[닫힌 부분 스킴]]
:<math>Y \subseteq X \times_K S</math>
가운데, 표준적 <math>K</math>-[[스킴 사상]]
:<math>Y/K \to S/K</math>
이 [[평탄 사상]]인 것이다. <math>S</math>에 대한 <math>X</math>의 부분 스킴의 족의 집합을 <math>\operatorname{Hilb}_{X/K}(S)</math>라고 하자.

<math>K</math>-[[스킴 사상]] <math>f\colon S'/K \to S/K</math> 및 <math>S</math> 위의 부분 스킴의 족 <math>Y \subseteq X \times_K S</math>이 주어졌을 때, 사상
:<math>(X,f) \colon X \times_K S' \to X \times_K S</math>
아래 <math>X</math>의 원상
:<math>Y' \subseteq X \times_K S'</math>
을 정의할 수 있다. 즉, <math>\operatorname{Hilb}_{X/K}</math>는
* <math>K</math> 위의 [[조각 범주]]의 [[반대 범주]] <Math>(\operatorname{Sch}/K)^{\operatorname{op}}</math>에서
* [[집합]]과 [[함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Set}</math>로 가는
[[함자 (수학)|함자]]를 정의한다. 즉, 이는 <math>\operatorname{Sch}/K</math> 위의 [[준층]]이다.

만약 이 함자가 [[표현 가능 함자]]라면, 이를 표현하는 [[스킴 (수학)|스킴]]을 <Math>\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}</math>이라고 한다. 즉, 표준적으로
:<math>\hom_{\operatorname{Sch}/K}(S,\operatorname{Hilb}_{X/K}) = \operatorname{Hilb}_{X/K}(S)</math>
이다.

물론, <math>K = \operatorname{Spec}\mathbb Z</math>로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우
:<math>\hom_{\operatorname{Sch}}(S,\operatorname{Hilb}_X) = \operatorname{Hilb}_X(S)</math>
이다.

== 성질 ==
=== 존재 ===
만약 <math>S</math>가 [[국소 뇌터 스킴]]이며, <math>X/S</math>가 [[사영 스킴]]이라면, <math>\operatorname{Hilb}_{X/S}</math>가 존재한다.

특히, 정수 계수의 [[사영 공간]] 
:<math>\mathbb P_{\mathbb Z}^n = \operatorname{Proj}[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>
은 힐베르트 스킴을 갖는다.

반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 [[대수다양체]]가 존재한다. 구체적으로, [[히로나카 헤이스케]]는 [[사영 대수다양체]]가 아닌 어떤 [[복소수]] [[비특이 대수다양체|비특이]] [[완비 대수다양체]] <math>X</math>에 대하여, [[대수 공간]] <math>X^2 / \operatorname{Sym}(2)</math>가 [[스킴 (수학)|스킴]]으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 <math>\operatorname{Hilb}_X(2)</math>는 [[스킴 (수학)|스킴]]이 아니다.

=== 힐베르트 다항식으로의 분해 ===
<math>K</math>가 [[국소 뇌터 스킴]]이며, <math>X = \mathbb P^n_K = \mathbb P^n_{\mathbb Z} \times K</math>가 <math>K</math> 계수의 [[사영 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 그 <math>K</math>-부분 스킴에 대하여 [[힐베르트 다항식]]을 정의할 수 있다. 이는 [[유리수]] 계수 다항식이다.

[[평탄 사상|평탄 스킴 족]]의 올들은 같은 [[힐베르트 다항식]]을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 [[힐베르트 다항식]]에 대한 성분들의 [[분리합집합]]이다.
:<math>\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K} = \bigsqcup_{p\in \mathbb Q[x]}\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K}(p)</math>
즉, 각 유리수 계수 다항식 <math>p \in \mathbb Q[x]</math>에 대하여, <math>\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K}(p)</math>는 [[힐베르트 다항식]]이 <math>p</math>인 [[닫힌 부분 스킴]]의 [[모듈라이 공간]]이다.

=== 사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성 ===
정수 계수 사영 공간 <math>\mathbb P^n_{\mathbb Z}</math>의 힐베르트 스킴 <math>\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n_{\mathbb Z}}</math>은 다음과 같이 구체적으로 구성된다.

다항식 <math>p \in \mathbb Q[t]</math>의 '''고츠만 수'''(Gotzmann數, {{llang|en|Gotzmann number}})는 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[자연수]] <math>D</math>이다.
* <math>\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>의 임의의 포화 아이디얼 <math>\mathfrak I\subseteq \mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>, <math>\mathfrak I = \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty(\mathfrak I:(x_0,x_1,\dotsc,x_n)^i)</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak I</math>의 [[힐베르트 다항식]]이 <Math>p</math>라면, <math>\mathfrak I</math>는 <math>D</math>차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다.

힐베르트 스킴 <math>\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}(p)</math>는 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
:<math>\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}(p) = \left\{(V,W) \in \operatorname{Grass}\left(\binom{n+D}n-p(D),\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D\right) \times \operatorname{Grass}\left(\binom{n+D}n-p(D),\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D\right) \colon\forall i\colon x_iV \subseteq W\right\}</math>
여기서
* <math>\operatorname{Grass}(a,V)</math>는 [[벡터 공간]] <math>V</math> 속의 <math>a</math>차원 부분 벡터 공간의 [[모듈라이 공간]]인 [[그라스만 다양체]]이다.
* <math>D\in\mathbb N</math>는 <math>p</math>의 고츠만 수이다.
* <math>\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D</math>는 변수 <math>x_0,x_1,\dotsc,x_n</math>에 대한 <math>D</math>차 [[동차다항식]]들의 공간이다.
* <math>\textstyle\binom ab</math>는 [[이항 계수]]이다.

== 예 ==
임의의 [[국소 뇌터 스킴]] <math>X</math>에 대하여, [[힐베르트 다항식]]이 상수 <math>n</math>인 힐베르트 스킴 <math>\operatorname{Hilb}_X(n)</math>을 생각하자. 이는 <math>X</math> 위의 <math>n</math>개의 점으로 구성된 [[아르틴 가환환|아르틴]] 부분 스킴의 [[모듈라이 공간]]이며, 따라서 [[짜임새 공간]] <math>X^n / \operatorname{Sym}(n)</math>이다 (<math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]). 특히, <math>\operatorname{Hilb}_X(1) = X</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[모듈라이 공간]]
* [[지겔 모듈러 다양체]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|arxiv=math/0504590 | 제목=Construction of Hilbert and Quot schemes | 이름=Nitin | 성=Nitsure | 언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Hilbert and Quot schemes | 이름=S. | 성=Habibi | 출판사=Université de Bordeaux Ⅺ | 기타=석사 학위 논문 (지도 교수: L. Barbieri Viale) | 날짜=2009 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hilbert scheme}}
* {{nlab|id=Hilbert scheme}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/07/18/the-hilbert-scheme/ | 제목=The Hilbert scheme | 날짜=2008-07-18 | 이름=Charles | 성=Siegel | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://homepages.warwick.ac.uk/staff/D.Maclagan/papers/HilbertSchemesNotes.pdf | 제목=Notes on Hilbert schemes | 이름=Diane | 성=Maclagan | 날짜=2007-09 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.math.utah.edu/~bertram/courses/hilbert/ | 제목=Construction of the Hilbert scheme | 이름=Aaron | 성=Bertram | 날짜=1999| 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:모듈라이 이론]]
[[분류:스킴 이론]]