힐베르트 기저 정리 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''힐베르트 기저 정리'''(Hilbert基底定理, {{llang|en|Hilbert’s basis theorem}}, {{llang|de|Hilberter Basissatz|힐베르터 바지스자츠}})는 [[뇌터 환]]을 계수로 하는 [[다항식환]]은 [[뇌터 환]]이라는 정리이다. [[대수기하학]]에서, 이는 모든 [[아핀 공간|아핀]] [[대수 집합]]을 유한개의 대수 방정식들로 정의할 수 있음을 의미한다.

== 정의 ==
<math>R</math>가 (곱셈 항등원을 갖는) [[가환환]]이라고 하고, <math>R[x_1,\dots,x_n]</math>이 <math>R</math>를 계수로 하는, <math>n\in\mathbb Z^+</math>개의 부정원(不定元)에 대한 [[다항식환]]이라고 하자. '''힐베르트 기저 정리'''에 따르면, 만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환]]이라면, <math>R[x_1,\dots,x_n]</math>역시 [[뇌터 환]]이다.

== 응용 ==
힐베르트 기저 정리는 [[대수기하학]]에서 핵심적인 역할을 한다. <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하자. 그렇다면 <math>K</math>에 대한 <math>n</math>차원 [[아핀 공간]]의 좌표환은 <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>이다.

모든 체는 자명하게 [[뇌터 환]]이므로, 힐베르트 기저 정리에 따라서 아핀 공간의 좌표환 역시 뇌터 환을 이룬다. 아핀 대수 집합은 좌표환 <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>의 아이디얼로 정의되는데, [[뇌터 환]]에서는 모든 아이디얼이 유한생성되므로, 따라서 모든 아핀 대수 집합 <math>V</math>는 유한개의 다항식들 <math>\{p_1,\dots,p_m\}\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>이 모두 0이 되는 점들의 집합으로 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>V=\{x\in\mathbb A^n_K\colon 0=p_1(x)=p_2(x)=\cdots=p_m(x)\}</math>

힐베르트 기저 정리는 보통 [[귀류법]]으로 증명하기 때문에, 기저 정리로만은 이 <math>p_i</math>들을 계산할 수 없으며, 이들을 계산하려면 [[그뢰브너 기저]]를 사용할 수 있다.

== 역사 ==
[[다비트 힐베르트]]가 1890년에 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우를 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Hilbert | first=David | authorlink=다비트 힐베르트 | title=Ueber die Theorie der algebraischen Formen | doi=10.1007/BF01208503 | year=1890 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=36 | issue=4 | pages=473–534 | 언어=de}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HilbertBasisTheorem|title=Hilbert basis theorem}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Hilbert%27s_Basis_Theorem|제목=Hilbert's Basis Theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수학 정리]]
[[분류:다비트 힐베르트]]