힐베르트 공간 문서 원본 보기

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{{양자역학}}
[[함수해석학]]에서 '''힐베르트 공간'''(Hilbert空間, {{llang|en|Hilbert space}})은 [[완비성|완비]] [[내적 공간]]이다. [[유클리드 공간]]을 일반화한 개념이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 <math>\mathbb R</math> 또는 <math>\mathbb C</math>라고 하자. <math>K</math>-'''힐베르트 공간''' <math>(\mathcal H,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>은 [[완비 거리 공간]]을 이루는 <math>K</math>-[[내적 공간]]이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 및 [[거리 공간]] 및 [[벡터 공간]] 및 [[노름 공간]]의 구조를 갖는다.

이와 동치로, <math>K</math>-힐베르트 공간을 다음과 같은 '''평행사변형 항등식'''(平行四邊形恒等式, {{llang|en|parallelogram identity}})을 만족시키는 <math>K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(\mathcal H,\|\cdot\|)</math>으로 정의할 수 있다.
:<math>\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)\qquad\forall u,v\in\mathcal H</math>
이 경우, 내적 구조는
:<math>\langle u,v\rangle=\begin{cases}
\frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)&K=\mathbb R\\
\frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)&K=\mathbb C\\
\end{cases}</math>
가 된다.

== 분류 ==
힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>의 '''[[정규 직교 기저]]''' <math>B\subset\mathcal H</math>는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
* 모든 <math>e,e'\in B</math>에 대하여,{{mindent|<math>\langle e,e'\rangle=\begin{cases}0&e\ne e'\\1&e=e'\end{cases}</math>}}
* 다음 집합은 <math>\mathcal H</math> 속의 [[조밀 집합]]이다.{{mindent|<math>\operatorname{Span}B=\left\{a_1e_1+\cdots+a_ne_n|n\in\mathbb N,\;e_1,\dots,e_n\in B,\;a_1,\dots,a_n\in K\right\}\subset\mathcal H</math>}}
[[초른 보조정리]]에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>의 모든 정규 직교 기저의 [[집합의 크기|크기]]는 항상 같은 [[기수 (수학)|기수]]임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 '''차원''' <math>\dim\mathcal H</math>이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 [[벡터 공간]]의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 <math>\operatorname{Span}B=\mathcal H</math>를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 <math>\operatorname{Span}B</math>가 오직 [[조밀 집합]]임이 족하기 때문이다.

두 <math>K</math>-힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>, <math>\mathcal H'</math> 사이에 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|1.4.19–1.4.21}}
* <math>\dim\mathcal H=\dim\mathcal H'</math>
* <math>\mathcal H</math>와 <math>\mathcal H'</math> 사이에 [[유니터리 변환]] <math>U\colon\mathcal H\to\mathcal H'</math>이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 [[동형]]이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, <math>K</math>-힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|1.4.23}}
* <math>\mathcal H</math>는 [[분해 가능 공간]]이다.
* <math>\dim\mathcal H\le\aleph_0</math>이다.
즉, [[분해 가능]] 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 [[가산 무한]] <math>\aleph_0</math>이다.

== 성질 ==
[[리스 표현 정리]]에 따라서, 힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>는 스스로의 [[연속 쌍대 공간]] <math>\mathcal H^*</math>와 동형이며, 만약 <math>K=\mathbb R</math>일 경우 이는 표준적({{llang|en|canonical}}) 동형이다.

== 예 ==
<math>K</math>가 <math>\mathbb R</math> 또는 <math>\mathbb C</math>라고 하고, <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>가 [[측도 공간]]이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 [[L2 공간|L<sup>2</sup> 공간]] <math>L^2(X,K)</math>는 <math>K</math>-힐베르트 공간을 이룬다.<ref name="Tao"
>{{서적 인용|제목=Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2010/02/epsilon.pdf|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테렌스 타오|출판사=American Mathematical Society|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=117|isbn=978-0-8218-5278-1|언어=en}}</ref>{{rp|1.4.9}}

만약 <math>X</math>가 [[셈측도]]가 부여된 집합이라면
:<math>\dim L^2(X,K)=|X|</math>
이며, 함수
:<math>f_x\colon X\to K\qquad(x\in X)</math>
:<math>f_x(y)=\begin{cases}1&x=y\\0&x\ne y\end{cases}</math>
는 <math>L^2(X,K)</math>의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 <math>\mathcal F</math>가 [[분해가능 시그마 대수]](<math>d(A,B)=\mu(A\setminus B\cup B\setminus A)</math>로 정의한 [[거리 공간]]이 [[분해 가능 공간]]인 경우)이며, 또한 <math>X</math>가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, <math>L^2(X,K)</math>는 [[분해 가능 공간]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|1.3.9}}

== 응용 ==
힐베르트 공간은 [[해석학 (수학)|해석학]]의 다양한 분야에 응용되며, 특히 [[편미분 방정식]] 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 [[소볼레프 공간]]이 [[편미분 방정식]]을 다룰 때 주로 등장한다.

[[푸리에 해석]]이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

[[양자역학]]에서, 양자계의 [[양자역학의 수학적 공식화|상태 공간]]은 [[분해 가능]] 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

== 역사 ==
1907년에 [[리스 프리제시]]와 [[에른스트 지그스문트 피셔]]가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 {{math|''L''<sup>2</sup>}}가 [[완비 거리 공간]]임을 증명하였다.<ref>Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9</ref> 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 [[리스 표현 정리]]가 증명되었다.<ref>In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L2[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934).</ref>
1908년에 [[다비트 힐베르트]]와 [[에르하르트 슈미트]]가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 <math>(f,g):=\int_a^b f(x)g(x)dx</math>이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 <math>L^2</math>공간이 된다.<ref>Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116</ref>
[[다비트 힐베르트]]가 1912년에 힐베르트 공간 <math>\ell^2(\mathbb N)</math>을 정의하였다.<ref>{{서적 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|날짜=1912|제목=Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen|jfm=43.0423.01|출판사=B. G. Teubner|총서=Fortschr. d. math. Wissensch. in Monographien hrsgb. von O. Blumenthal|권=3|언어=de}}</ref> 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 [[존 폰 노이만]]<ref>{{저널 인용|이름=J.|성=von Neumann|저자링크=존 폰 노이만|제목=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren|저널=Mathematische Annalen|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01782338|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002273535|권=102|날짜=1929|쪽=49–131|jfm=55.0824.02|언어=de}}</ref> 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |이름=Gerald |성=Teschl |제목=Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators |출판사=American Mathematical Society |총서=Graduate Studies in Mathematics|권=99|날짜=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |zbl=1166.81004|mr=2499016|isbn=978-0-8218-4660-5|언어=en}}
* {{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael C. |공저자=Barry Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of modern mathematical physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}
* {{서적 인용| last=Halmos|first=Paul|저자링크=헐모시 팔|title=A Hilbert space problem book|year=1982|publisher=Springer|isbn=0-387-90685-1|언어=en}}
* {{서적 인용| last=Young|first=Nicholas|title=An introduction to Hilbert space| url=https://archive.org/details/introductiontohi0000youn|publisher=Cambridge University Press|날짜=1988|zbl=0645.46024|isbn=0-521-33071-8|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hilbert space}}
* {{매스월드|id=HilbertSpace|title=Hilbert space}}
* {{nlab|id=Hilbert space}}
* {{nlab|id=separable Hilbert space|title=Separable Hilbert space}}
{{전거 통제}}

[[분류:힐베르트 공간| ]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:연산자 이론]]
[[분류:다비트 힐베르트]]