흡수 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]] 및 [[함수해석학]]에서, '''흡수 집합'''(吸收集合, {{llang|en|absorbing set}})은 충분히 확대되었을 때 모든 벡터를 포함할 수 있는, [[실수 벡터 공간]] 또는 [[복소수 벡터 공간]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 주어졌을 때, 만약 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 <math>t(v)>0</math>이 존재한다면, <math>S</math>가 '''흡수 집합'''이라고 한다.
* 임의의 스칼라 <math>a\in K</math>에 대하여, 만약 <math>|a|\ge t(v)</math>라면 <math>v\in aS</math>
여기서
:<math>aS=\{as\colon s\in S\}</math>
이다.

보다 일반적으로, <math>S,T\subseteq V</math>가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 <math>t>0</math>이 존재한다면, <math>S</math>가 <math>T</math>를 '''흡수한다'''고 한다.
* 임의의 스칼라 <math>a\in K</math>에 대하여, 만약 <math>|a|\ge t</math>라면 <math>T\subseteq aS</math>
이 경우,
* 흡수 집합은 모든 벡터를 흡수하는 집합이다.
* [[유계 집합]]은 모든 영벡터의 근방에 의하여 흡수되는 집합이다.

== 성질 ==
<math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[균형 집합]] <math>S\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="BourbakiTopologicalVectorSpaces">{{서적 인용
|성1=Bourbaki
|이름1=Nicolas
|저자링크1=니콜라 부르바키
|제목=Elements of mathematics. Topological vector spaces. Chapters 1–5
|언어=en
|판=Softcover printing of the 1st English edition of 1987
|출판사=Springer
|위치=Berlin
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-42338-6
|doi=10.1007/978-3-642-61715-7
|zbl=1115.46002
}}</ref>{{rp|7}}
* 흡수 집합이다.
* 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>v\in aS</math>인 <math>a\in K^{\times}</math>가 존재한다.
이는 [[균형 집합]]의 경우, <math>|a|\le|b|</math>일 때 <math>aS\subseteq bS</math>이기 때문이다.

모든 흡수 집합은 0을 원소로 포함하며, 특히 [[공집합]]이 아니다. 모든 흡수 집합은 [[전집합]]이다 (즉, 흡수 집합을 포함하는 부분 공간은 [[조밀 집합]]이다).

흡수 집합의 유한한 [[교집합]]은 흡수 집합이다. 흡수 집합을 [[부분 집합]]으로 포함하는 집합은 흡수 집합이다.

== 예 ==
[[반노름 공간]]의 [[열린 공]]·[[닫힌 공]]은 흡수 집합이다. 보다 일반적으로, <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]에서, 0의 [[근방]]은 흡수 집합이다.
{{증명}}
<math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에서, 임의의 영벡터의 근방 <math>U\ni0</math> 및 임의의 벡터 <math>v\in V</math>가 주어졌다고 하자. 함수
:<math>K\to V</math>
:<math>a\to av</math>
가 [[연속 함수]]이며 <math>0v=0</math>이므로, <math>|a|</math>가 충분히 작을 때 <math>av\in U</math>이며, 따라서 <math>|a'|</math>가 충분히 클 때 <math>v\in a'U</math>이다. 즉, <math>U</math>는 흡수 집합이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[대수적 내부]]
* [[유계 집합]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Robertson |first=A.P. |author2= W.J. Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | page=4}}
* {{서적 인용 | last = Schaefer | first = Helmut H.  | year = 1971 | title = Topological vector spaces  | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3  | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 0-387-98726-6 | page=11 }}

{{함수 해석학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]