후르비츠의 정리 (나눗셈 대수) 문서 원본 보기

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'''후르비츠의 정리'''(Hurwitz's theorem, -定理)는 [[독일]] [[수학자]] [[아돌프 후르비츠]]의 이름이 붙은 [[추상대수학]]의 [[정리]]로, 후르비츠가 [[1898년]] 증명하였다. 다음과 같은 내용이다.

* [[항등원]]이 있는 [[실수]] 혹은 [[복소수]] 위의 [[노름]]이 주어진 [[나눗셈 대수]]로서, 그 노름이 항상 <math>||xy||=||x||\cdot||y||</math>을 만족하는 것은 항상 ([[대수 (환론)|대수]]로서) 실수, 복소수, [[사원수]], [[팔원수]] 중 하나와 동형이다.<ref>JA Nieto and LN Alejo-Armenta (2000). "Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis". ''Arxiv preprint hep-th/0005184''. arXiv:[http://arxiv.org/abs/hep-th/0005184 hep-th/0005184].</ref><ref>Kevin McCrimmon (2004). "Hurwitz's theorem 2.6.2". ''A taste of Jordan algebras''. Springer. p. 166. {{ISBN|0387954473}}. "Only recently was it established that the only finite-dimensional real nonassociative division algebras have dimensions 1,2,4,8; the algebras were not classified, and the proof was topological rather than algebraic."</ref>

[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]에 의해 시작된 실수체 위의 나눗셈 대수를 분류하는 문제는<ref>Georg Frobenius (1878). "Über lineare Substitutionen und bilineare Formen". ''J. Reine Angew. Math''. '''84''': 1–63.</ref> 후르비츠가 이 정리 등으로 이어받아 발전시켰고<ref>Hurwitz, A. (1898). "Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables)" ([[독일어]]). ''Nachr. Ges. Wiss. Göttingen'': 309–316. JFM [http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:29.0177.01&format=complete 29.0177.01].</ref>, [[막스 초른]]이 [[교대환]](alternative ring)의 연구로 이에 대한 일반적인 결과를 얻었다.<ref>Max Zorn (1930). "Theorie der alternativen Ringe". ''Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg'' '''8''': 123–147.</ref>

아돌프 후르비츠는 이 정리를 즉시 응용하여 [[브라마굽타-피보나치 항등식]], [[오일러의 네 제곱수 항등식]]이나 [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]과 같은 [[항등식]]은 미지수가 여덟 개보다 더 많은 경우에 대해서는 성립할 수 없다는 사실을 증명하기도 했다.<ref>Joe Roberts (1992). [http://books.google.com/books?id=DvX90EKMxGwC&pg=PA93 "Square identities"]. ''Lure of the integers''. Cambridge University Press. {{ISBN|088385502X}}.</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[프로베니우스 정리 (대수학)]]
* [[웨더번 정리]]
* [[아르틴-초른 정리]]
* [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]

[[분류:비결합대수]]
[[분류:이차 형식]]
[[분류:표현론]]
[[분류:대수학 정리]]
[[분류:합성 대수]]