횡단성 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서, '''횡단성'''(橫斷性, {{llang|en|transversality}})은 두 부분 [[다양체]] 또는 (보다 일반적으로) 같은 [[공역]]을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 [[대칭 관계]]이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 [[교집합]]은 부분 다양체를 이룬다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>X</math>, <Math>Y</math>, <math>M</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>f\colon X\to M</math>, <math>g\colon Y\to M</math>
만약 다음 조건이 성립한다면, <math>f</math>와 <math>g</math>가 서로 '''횡단적'''이라고 하며, <math>f\pitchfork g</math>로 표기한다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 <Math>y\in Y</math>에 대하여, 만약 <math>f(x) = g(y)=m\in M</math>라면, <math>\mathrm D_xf(\mathrm T_xX) + \mathrm D_yg(\mathrm T_yY) = \mathrm T_mM</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
X & \overset f\to & M & \overset g\leftarrow & Y \\
x & \mapsto & m & {\leftarrow}\!\;\!{\mapsto\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\color{White}\!\;\blacksquare\!\!\blacksquare\!\!\!\!\!\!\!\!\!} & y \\
\mathrm T_xX &\underset{\mathrm D_xf}\to & \mathrm T_mM & \underset{\mathrm D_yg}\leftarrow & \mathrm T_yY
\end{matrix}</math>

부분 다양체 <math>X\subseteq M</math>는 포함 사상 <math>i\colon X\hookrightarrow M</math>으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 [[매끄러운 함수]])가 서로 '''횡단적'''이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.

== 성질 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 부분 다양체 <Math>X\hookrightarrow M</math> 및 매끄러운 함수 <math>g\colon Y\to M</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>X\pitchfork g</math>라면,
:<math>g^{-1}(X) = \{y\in Y\colon g(y) \in X\}</math>
는 <math>Y</math>의 부분 다양체이며, 그 [[여차원]]은 <math>X</math>의 [[여차원]]과 같다.
:<math>\operatorname{codim}_Yg^{-1}X\dim Y-\dim g^{-1}(X) = \operatorname{codim}_MX = \dim M - \dim X</math>

특히, 만약 <math>g</math> 역시 [[매장 (수학)|매장]]이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체 <math>X , Y\subseteq M</math>가 주어졌다고 하고, <math>X\pitchfork Y</math>라고 하자. 그렇다면, <math>X\cap Y\subseteq M</math> 역시 부분 다양체이며,
:<math>\operatorname{codim}_M (X\cap Y) = \operatorname{codim}_MX + \operatorname{codim}_MY</math>
이다. 즉,
<math>\dim (X\cap Y) = \dim X + \dim Y - \dim M</math>
이다.

=== 안정성 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 함수]] <Math>f\colon X\to M</math>
* 매끄러운 호모토피 <math>g\colon[0,1]\times Y\to M</math>, <math>(t,y) \mapsto g_t(y)</math>
그렇다면, 만약 <math>f\pitchfork g_0</math>이라면,
:<math>\inf \{t\in[0,1] \colon f\pitchfork g_t\} > 0</math>
이다. 즉, 어떤 <Math>\epsilon>0</math>에 대하여, 모든 <math>t\in[0,\epsilon)</math>에 대하여 <math>f\pitchfork g_t</math>이게 된다.

=== 일반성 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>X,Y,M</math>
* [[경계다양체]] <math>S</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>f\colon X\to M</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>g\colon S\times Y\to M</math>, <math>(s,y) \mapsto g_s(y)</math>
또한,
* <math>f\pitchfork g</math>
* <math>f\pitchfork (g\restriction \partial S\times Y)</math>
라고 하자. '''톰 횡단 정리'''({{llang|en|Thom transversality theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* [[거의 어디서나|거의 모든]] <math>s\in S</math>에 대하여, <math>f\pitchfork g_s</math>이다.
* [[거의 어디서나|거의 모든]] <math>s\in \partial S</math>에 대하여, <math>f\pitchfork g_s</math>이다.
여기서 “거의 모든”은 <math>S</math> 또는 <math>\partial S</math>의 [[르베그 측도]]에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는 <math>s</math>의 집합은 [[영집합]]이다.

== 역사 ==
톰 횡단 정리는 [[르네 톰]]이 증명하였다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Transversality}}
* {{eom|title=Transversal mapping}}
* {{nlab|id=transversal maps|title=Transversal maps}}
* {{웹 인용|url=https://schapos.people.uic.edu/MATH549_Fall2015_files/Survey%20Charlotte.pdf | 제목=An introduction to transversality | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:변분법]]