횔더 연속 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''횔더 연속 함수'''(Hölder連續函數, {{llang|en|Hölder-continuous function}})는 두 점 사이의 거리를 일정 [[거듭제곱]] 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. [[립시츠 연속 함수]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[로비어 공간]] <math>(X,d_X)</math>, <math>(Y,d_Y)</math>
* 음이 아닌 실수 <math>\alpha\in[0,\infty)</math>
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''<math>\alpha</math>-횔더 연속 함수'''라고 한다.<ref name="Evans">{{서적 인용|성=Evans|이름=Lawrence C.|제목=Partial differential equations|판=2|url=http://bookstore.ams.org/gsm-19-r|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=19|날짜=2010|언어=en|확인날짜=2017-01-25|보존url=https://web.archive.org/web/20170202175724/http://bookstore.ams.org/gsm-19-r|보존날짜=2017-02-02|url-status=dead}}</ref>{{rp|254, §5.1}}
* 모든 <math>x,x'\in X</math>에 대하여, <math>d_Y(f(x),f(x'))\le Cd_X(x,x')^\alpha</math>인 <math>C>0</math>가 존재한다.

만약 임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''국소 <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수'''({{llang|en|locally <math>\alpha</math>-Hölder-continuous function}})라고 한다.
* 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math> 및 <math>x,x'\in K</math>에 대하여, <math>d_Y(f(x),f(x'))\le C_Kd_X(x,x')^\alpha</math>인 <math>C_K>0</math>가 존재한다.

임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>\alpha\in\mathbb R_{\ge0}</math>에 대하여, '''<math>\alpha</math>-횔더 [[반노름]]'''({{llang|en|<math>\alpha</math>-Hölder seminorm}})을 다음과 같이 정의하자.<ref name="Evans"/>{{rp|254, §5.1}}
:<math>\|f\|_{\mathrm{H\ddot o},\alpha}=\sup_{x,x'\in X\;d(x,x')>0}\frac{d_Y(f(x),f(x')}{(d_X(x,x'))^\alpha}\in[0,\infty]</math>
즉, 어떤 함수가 <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수인 것은 유한한 <math>\alpha</math>-횔더 반노름을 갖는 것과 [[동치]]이다.

<math>\alpha</math>-횔더 연속 함수들의 공간을 <math>\mathcal C^{0,\alpha}(X,Y)</math>로 표기하자. 이 위에는 <math>\alpha</math>-횔더 반노름을 주어 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 만들 수 있다.

== 성질 ==
0-횔더 연속 함수는 [[유계 함수]]이며, 1-횔더 연속 함수는 <math>C</math>-[[립시츠 연속 함수]]이다. 임의의 <math>\alpha>0</math>에 대하여, <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수는 [[연속 함수]]이다. (그러나 물론 [[유계 함수]]는 [[연속 함수]]가 아닐 수 있다.)

=== 포함 관계 ===
만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이라고 하자. 그렇다면,
<math>X</math>의 [[지름]]이 유한하며,
임의의 <Math>0<\alpha\le\beta<\infty</math>에 대하여, 자연스러운 포함 사상
:<math>\mathcal C^{0,\beta}(X,Y)\subseteq\mathcal C^{0,\alpha}(X,Y)</math>
이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\|f\|_{0,\alpha}\le \operatorname{diam}(X)^{\beta-\alpha}\|f\|_{0,\beta}</math>
따라서, 위 포함 관계는 [[연속 함수]]이자 사실 [[작용소 노름]]이 <math>\operatorname{diam}(X)^{\beta-\alpha}</math> 이하인 [[유계 작용소]]이다. 또한, [[아르첼라-아스콜리 정리]]에 의하여, <math>\mathcal C^{0,\beta}(X,Y)</math>에서의 [[유계 집합]]은 <math>\mathcal C^{0,\alpha}(X,Y)</math>에서의 [[상대 콤팩트 집합]]이다.

== 예 ==
함수
:<math>[0,1/2]\to\mathbb R</math>
:<math>x\mapsto\begin{cases}
0&x=0\\
1/\ln x&x>0
\end{cases}
</math>
를 생각하자. 이는 [[연속 함수]]이며 ([[정의역]]이 [[콤팩트 공간]]이므로) [[균등 연속 함수]]이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 <math>\alpha<\infty</math>에 대하여 <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수가 되지 못한다.

임의의 <math>0<\beta<\infty</math>에 대하여, 함수
:<math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>x\mapsto x^\beta</math>
는 <math>0<\alpha\le\beta</math>에 대하여 <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수이지만, <math>\alpha>\beta</math>일 경우 <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수가 아니다.

=== 페아노 곡선 ===
[[전사 함수|전사]] <math>1/2</math>-횔더 연속 함수
:<math>[0,1]\to[0,1]^2</math>
가 존재한다. 즉, 이는 [[페아노 곡선]]의 일종이다. 그러나 <math>\alpha>1/2</math>의 경우, [[전사 함수|전사]] <math>\alpha</math>-횔더 연속 함수 <math>[0,1]\to[0,1]^2</math>는 존재할 수 없다.

== 역사 ==
[[오토 횔더]]가 1882년 박사 [[학위]] 논문<ref>{{서적 인용|제목=Beiträge zur Potentialtheorie|이름=Otto|성=Hölder|저자링크=오토 횔더|url=https://archive.org/details/bietrgezurpoten00hlgoog|날짜=1882|위치=[[슈투트가르트]]|기타=[[튀빙겐 대학교]] 박사 학위 논문|출판사=Druck der J. B. Metzlerschen buchdruckerei|언어=de}}</ref>에서 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[립시츠 연속 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hölder condition}}
* {{eom|title=Hölder space}}
* {{매스월드|id=HoelderCondition|title=Hölder condition}}

[[분류:연속 함수]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:함수해석학]]