회전 (벡터) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''회전'''(回轉, {{llang|en|curl|컬}})은 3차원 벡터장을 다른 3차원 벡터장으로 대응시키는 1차 미분 연산자의 하나이다. 수식에서 기호는 "<math>\nabla \times</math>" 또는 "<math>\operatorname{curl}()</math>"이다.

== 정의 ==
=== 직교 좌표계에서의 정의 ===
어떤 [[벡터장]] '''F'''=F<sub>1</sub>'''i'''+F<sub>2</sub>'''j'''+F<sub>3</sub>'''k'''의 '''회전'''은
다음과 같이 표현되는 기호 [[행렬식]]이다.
:<math>\nabla \times \mathbf F=\det\begin{pmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k  \\
\partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\
F_1 & F_2 & F_3  \\
\end{pmatrix} =\left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} \right)\mathbf i+\left( \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} \right)\mathbf j+\left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\mathbf k</math>

만일 왼손좌표계의 경우에는 위의 행렬식에 음의 부호를 취한다.

=== 좌표계 독립적인 정의 ===
위의 정의는 [[직교 좌표계]]를 사용하여 정의를 하였다. 그러나 어떠한 [[좌표계]]에서든지 성립하는 회전의 정의도 존재하며 많은 물리책들은 위의 정의 대신 다음 정의를 사용한다. 그 정의는 다음과 같다.
:어떤 점에서의 [[벡터장]]의 회전은 그 점을 포함하는 임의의 닫힌 곡면 S에서 바깥방향 [[법선벡터]]와 그 [[벡터장]]의 [[벡터곱]]의 [[면적분]]과 그 곡면으로 둘러싸인 부피(V)의 비를 부피를 0으로 보낼 때의 극한이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
::<math>\nabla\times\mathbf F=\lim_{V \to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\mathbf{n}\times\mathbf{F}\,da</math>
계산의 편리성과 물리적 의미의 이해를 돕기 위하여 여러 가지 연산을 통해 적분속에 있는 [[벡터곱]]을 없애줄 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
:어떤 점에서 <math>\nabla\times\mathbf F</math>의 [[단위벡터]] '''a'''방향 성분은 그 점을 포함하는 '''a'''에 수직한 평면 S'에서 그 둘레 C를 따라 '''F'''를 [[선적분]]한 값과 S'의 넓이의 비를 넓이를 0으로 보낼 때의 극한이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
::<math>\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{S'\to 0}\frac{1}{S'}\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf l</math>

=== 회전 성분에 관한 정리의 증명 ===
[[벡터곱]]을 이용한 정의로부터 이 성질을 유도해보자. 일단 [[단위벡터]] '''a'''는 상수이므로,
:<math>\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\hat{\mathbf a}\cdot\oint_S\mathbf n\times\mathbf F\,da=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\hat{\mathbf a}\cdot\left(\mathbf n\times\mathbf F\right) da=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\mathbf{F}\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf{n}\right) da</math>
([[스칼라 삼중곱]]의 성질에 의하여 순서를 바꾸어 줄 수 있다.)
여기서 적분할 부피를 잘 잡아주면 식을 간단히 정리할 수 있다. 아래 정의에서 적분에 사용한 평면 S'을 [[단위벡터]] '''a'''를 따라 &xi;/2만큼, -'''a'''를 따라 &xi;/2만큼 평행이동할 때 면이 쓸고 지나가는 공간에 대하여 생각해보자. 이 공간은 부피가 S'&xi;인 일종의 기둥이 된다. 기둥의 [[밑면]]에서의 '''a'''&times;'''n'''은 '''n'''과 '''a'''가 평행하므로 0이된다. 즉, 기둥의 [[밑면]]에 대한 [[면적분]]은 0이되고, 옆면 S<sub>side</sub>에 대해서만 [[면적분]]을 해주면 된다. 이 [[면적분]]은 다르게 말하면 밑면에 평행하게 무한히 많은 층으로 잘라서(dh), 각 층에서 둘레를 따라(dl) 선적분 한것들의 총합이 될 것이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\iint_{S_{side}}\mathbf{F}\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf{n}\right)da=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{C}\int_{-\frac{\xi}{2}}^{\xi\over 2}\mathbf{F}\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf{n}\right)dhdl</math>
[[파일:Poiseuille profile.png|thumb]]
'''F'''는 연속이므로<ref>회전도 일종의 미분연산이다. 만약 연속하지 않으면 극한은 발산하며 그 점에서 회전은 정의될 수 없다.</ref> 안에 있는 적분에 [[평균값 정리]]를 사용해준다면 특정한 '''F'''<sup>*</sup>에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{C}\xi\mathbf F^*\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf n\right)dl</math>
옆면에서 '''a'''&times;'''n'''을 생각해보면 둘레에 평행한 [[단위벡터]]이다. 따라서 ('''a'''&times;'''n''')dl을 d'''l'''로 바꾸어줄 수 있다. 부피 V는 기둥의 부피 공식에 의하여 밑면의 넓에 S'에 높이 &xi;를 곱한 것이 되므로 적분 속에 있는 &xi;와 약분이 된다. 또한 V가 0으로 가면 S'도 0으로 갈 것이고, &xi;도 0으로 가므로, '''F'''<sup>*</sup>도 F로 갈 것이다. 정리하면 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{\xi}{S'\xi}\oint_{C}\mathbf F^*\cdot d\mathbf l=\lim_{S'\to 0}\frac{1}{S'}\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf l</math>

=== 직교 좌표계 정의의 유도 ===
위의 정리를 사용하여 회전의 x방향 성분을 생각해보자. 미소 &epsilon;에 대하여 (x, y, z), (x, y+&epsilon;, z), (x, y+&epsilon;, z+&epsilon;), (x, y, z+&epsilon;)을 꼭짓점으로 갖는 정사각형을 생각해 보자. 그 정사각형에서 위의 정리를 사용하면 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf F&=\lim_{S\to 0}\frac{1}{S}\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\int_y^{y+\epsilon}F_2\left( x, y', z\right) dy'+\int_z^{z+\epsilon}F_3\left( x, y+\epsilon, z'\right) dz'+\int_{y+\epsilon}^y F_2\left( x, y', z+\epsilon\right) dy'+\int_{z+\epsilon}^z F_3\left( x, y, z'\right) dz'\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\int_z^{z+\epsilon}F_3\left( x, y+\epsilon, z'\right) -F_3\left( x, y, z'\right) dz'-\int_y^{y+\epsilon}F_2\left( x, y', z+\epsilon\right) -F_2\left( x, y', z\right) dy'\right)
\end{align}</math>
첫번째 적분과 두번째 적분에 [[평균값 정리]]의 미분 형태를 사용해주면 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf F&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\int_z^{z+\epsilon}\epsilon\frac{\partial F_3}{\partial y}\left(x, \bar y, z'\right)dz'-\int_y^{y+\epsilon}\epsilon\frac{\partial F_2}{\partial z}\left( x, y', \bar{z}\right) dy'\right), \bar y\in\left( y, y+\epsilon\right), \bar z\in\left( z, z+\epsilon\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\left(\int_z^{z+\epsilon}\frac{\partial F_3}{\partial y}\left(x, \bar{y}, z'\right)dz'-\int_y^{y+\epsilon}{\partial F_2\over\partial z}\left( x, y', \bar{z}\right) dy'\right)\end{align}</math>
이제 첫번째와 두번째 적분에 [[평균값 정리]]의 적분 형태를 사용해주면 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf{F}&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\left(\epsilon{\partial F_3\over\partial y}\left(x, \bar{y}, \tilde{z}\right)-\epsilon{\partial F_2\over\partial z}\left( x, \tilde{y}, \bar{z}\right)\right), \tilde{y}\in\left( y, y+\epsilon\right), \tilde{z}\in\left( z, z+\epsilon\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\left({\partial F_3\over\partial y}\left(x, \bar y, \tilde z\right)-{\partial F_2\over\partial z}\left( x, \tilde y, \bar z\right)\right)\end{align}</math>
&epsilon;이 0으로 가면, [[샌드위치 정리]]에 의하여 <math>\bar{y}\to y, \bar{z}\to z, \tilde{y}\to y, \tilde{z}\to z</math>이다. 결과적으로 정리하면 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf{F}={\partial F_3\over\partial y}-{\partial F_2\over\partial z}</math>
y방향, z방향 성분들도 위와 같은 과정을 걸치면 다음을 얻을 수 있다.
:<math>\hat{\mathbf j}\cdot\nabla\times\mathbf{F}={\partial F_1\over\partial z}-{\partial F_3\over\partial x}</math>
:<math>\hat{\mathbf k}\cdot\nabla\times\mathbf{F}={\partial F_2\over\partial x}-{\partial F_1\over\partial y}</math>
이는 위에서 소개된 [[직교 좌표계]]에서의 회전의 정의와 같다.

== 물리적 의미 ==
어떤 [[강체]]가 축을 중심으로 [[각속도]] '''ω'''로 회전하고 있다. 그리고 이 [[강체]] 각 부분의 [[속도]]의 [[벡터장]]을 '''V'''라고하자. z축을 축으로 잡는다면 각속도
:<math>\boldsymbol{\omega}=\omega\mathbf{k}</math>이고 <math>\mathbf{V}\left( x,y,z\right) =\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}=\omega\mathbf{k}\times(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=\omega x\mathbf{j}-\omega y\mathbf{i}</math>
이다. '''V'''의 '''회전'''을 계산해본다면
:<math>\nabla\times\mathbf{V}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\-\omega y&\omega x&0\end{pmatrix}=2\omega\mathbf{k}=2\boldsymbol{\omega}</math>
즉 [[각속도]]와 연관이 있다. 따라서 <math>\nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}</math>이라면 그 [[강체]]는 회전하고 있지 않다는 것을 의미한다.

그렇다면 이제 [[유체]]를 생각해보자. 유체의 한 지점에서 회전은 그 지점에 놓인 [[강체]]의 [[각속도]]의 2배이다. 만약 그 지점의 회전이 '''[[영벡터|0]]'''이라면 그 지점에 소용돌이가 존재하지 않는다. 예를 들어 목욕탕 배수구를 열었을 때 나타나는 물의 운동의 경우 배수구가 있는 정중앙을 제외한 나머지 부분에서 회전이 '''[[영벡터|0]]'''이다. 즉, 물은 배수구를 중심으로 원운동을 하고 있지만 각각의 점에서 소용돌이가 일어나고 있지 않고 전체적으로 배수구를 휘감아 빠져나간다. 그러므로 만약 나뭇잎을 띄우면 나뭇잎은 흔들리지 않고 배수구 주위를 원운동하다가 배수구 근처에 다다랐을 때 회전을 시작할 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[헬름홀츠 정리]]
* [[소용돌이도]]

== 각주 ==
<references/>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus|판=5판 |이름=Jerrold E. |성=Marsden | 공저자=Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |날짜=2003}}
* {{서적 인용 |isbn=89-450-0112-3 |제목=Foundations of Electromagnetic Theory|판=4판 |이름=John R.|성=Reitz|공저자=Frederick Milford, Robert W. Christy |출판사=Pearson Education Korea |날짜=2009}}

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:해석기하학]]