회전 (기하학) 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|회전||수학에서 넓은 의미의 회전}}

[[파일:Rotation illustration2.svg|오른쪽|섬네일|2차원에서 점 {{mvar|O}}에 대한 회전]]

'''회전'''(回轉, {{llang|en|rotation}}) 또는 '''회전 이동'''(回轉 移動)은 [[기하학]]에서 하나의 점을 중심으로 같은 각도 회전시키는 함수를 가리킨다. [[고정점]]이 있는 [[아핀 변환]]이다. 한 고정점을 [[강체]](rigid body)로 가진다고 할 수 있다. 회전은 [[각도]]를 가지는데 시계 방향을 음수, 반시계 방향을 양수로 표현한다. 회전 이동은 고정점이 없는 [[평행 이동]]이나 고정점의 집합이 [[초평면 (수학)|초평면]]인 [[대칭 이동]](반사)과는 다르다.

회전은 수학적으로 [[사상 (수학)|사상]](map)이다. 고정점을 가지는 모든 회전은 공간에서 '''회전군'''이라는 [[함수의 합성|합성]]으로 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 하지만 [[역학 (물리학)|역학]]이나 [[물리학]]에서는 회전의 개념을 [[좌표계|좌표 변환]]으로 받아들인다.

== 용어 ==
회전군은 [[고정점]]에 대한 회전의 [[리군]]이다. 고정점은 '회전의 [[중심 (기하학)|중심]]'이라 하며 대부분의 경우 [[원점]]으로 생각한다. 회전군은 [[군의 작용]]에서 점이 [[안정자군]]이다.

* 회전의 축(axis)은 고정점의 [[직선]]이다. {{math|''n'' > 2}}일 때만 존재한다.
* [[회전의 평면]](plane)은 회전에 대한 [[불변량]]인 [[평면]]이다. 축과는 다르게 각 점들이 서로 고정되어 있지 않다. 회전축과 회전의 평면은 [[직교]]한다.

회전의 표현(representation)은 대수적이나 기하학적으로 회전 사상을 매개변수로 표시(parametrize)하는 형식이다. [[군의 표현]]과는 반대이다.

점들의 [[아핀 공간]]이나 [[벡터 공간]]에서 회전은 항상 확실히 구별할 수는 없다. 전자는 아핀 회전, 후자는 벡터 회전을 말한다.

== 이차원 ==
{{참고|U(1)}}
이차원에 있어서 회전을 생각할 때 '''회전각'''이라는 [[각도]]를 결정할 수 있는데, [[원점]]을 중심으로 각 θ만큼 [[반시계방향]] 회전했을 때의 θ이다. 회전을 기술하기 위해 [[행렬]]과 [[복소수]]를 이용한다.

=== 선형대수학 ===
회전하는 점 (x, y)를 벡터로 생각해서 각 θ 회전시켜 (x', y')이 되는 것을 행렬의 곱셈으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>
즉, 다음과 같다.
: <math>\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta
\end{align}</math>
두 벡터
: <math>\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math>
는 같은 크기를 가진다.

=== 복소수 ===
평면 상의 점 (x,y)는 복소수
: <math>z = x + iy</math>
로 표현된다. 각 θ 회전했을 때를 [[오일러 공식]]을 써서 전개하면 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\
               &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\
               &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\
               &= x' + i y'
\end{align}</math>
즉 얻은 결과가 앞과 같다.

== 같이 보기 ==
* [[평행 이동]]
* [[대칭 이동]] 또는 반사

{{토막글|기하학}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:유클리드 기하학]]