환의 표수 문서 원본 보기

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[[환론]]에서, (1을 갖춘) [[환 (수학)|환]]의 '''표수'''(標數, {{lang|en|characteristic}})는 그 환이 부분환으로 포함하는 [[순환군|순환환]] <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>의 크기 <math>n</math>이다. 만약 <math>\mathbb Z</math>를 부분환으로 포함할 경우, 환의 표수는 0으로 정의한다.

== 정의 ==
<math>R</math>가 (1을 갖춘) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. [[정수]]환 <math>\mathbb Z</math>는 환의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Ring}</math>의 [[시작 및 끝 대상|시작 대상]]이므로, 유일한 [[환 준동형]] <math>\mathbb Z\to R</math>이 존재한다. 이 준동형의 [[핵 (수학)|핵]]은 <math>\mathbb Z</math>의 [[아이디얼]]이며, <math>(n)</math> (<math>n=0,1,2,\dots</math>)의 꼴이다. 이 음이 아닌 [[정수]] <math>n</math>을 환 <math>R</math>의 '''표수'''라고 한다.

표수가 0이 아닌 환 <math>R</math>는 [[순환군|순환환]] <math>\mathbb Z/(n)=\mathbb Z/n\mathbb Z</math>를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 <math>\mathbb Z/(0)=\mathbb Z</math>를 부분환으로 가진다. 즉, <math>1\in R</math>이라고 하면, 환의 표수는
:<math>\underbrace{1+\cdots+1}_{n} = 0</math>
인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

=== 유사환의 표수 ===
[[유사환]] <math>R</math>의 표수는 다음과 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이다.
:<math>nr=\overbrace{r+\cdots+r}^n=0\qquad\forall r\in R</math>
만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, <math>R</math>의 표수는 0이다.

이렇게 정의한 유사환의 표수는 환의 표수와 일치한다. 이 정의는 유사환의 덧셈군 구조에만 의존하며, 따라서 일반적인 [[아벨 군]]에 대해서도 정의할 수 있다. 아벨 군의 원소들의 차수는 [[최소공배수]]에 대하여 닫혀 있으므로, (유사)환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같다. (만약 원소의 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.)

== 성질 ==
두 환 <math>R</math>, <math>S</math> 사이에 [[환 준동형]] <math>R\to S</math>가 적어도 하나 이상 존재한다면, 항상
:<math>\operatorname{char}S\mid\operatorname{char}R</math>
이다. 즉, <math>S</math>의 표수는 <math>R</math>의 표수의 [[약수]]이다. 특히, <math>R</math>와 <math>S</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우, 체의 표수는 소수이므로 <math>\operatorname{char}S=\operatorname{char}R</math>이어야 한다.

모든 [[소환 (환론)|소환]](특히, 모든 [[정역]] · [[체 (수학)|체]] · [[나눗셈환]])의 표수는 0이거나 아니면 [[소수 (수론)|소수]]이다. (이는 [[소환 (환론)|소환]]의 [[환의 중심|중심]]은 [[정역]]이고, [[정역]]의 [[분수체]]는 [[체 (수학)|체]]이며, 중심을 취하는 것과 분수체를 취하는 것은 표수를 바꾸지 않는 연산이기 때문이다.) 모든 [[순서체]]의 표수는 0이다.

표수가 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>인 [[유사환]] <math>R</math>에서, 다음과 같은 [[분배 법칙]]이 성립하며, 이를 '''신입생의 꿈'''(新入生-, {{llang|en|freshman’s dream}})이라고 한다.
:<math>(r+s)^p=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R</math>
이는 자명하지 않는 [[이항 계수]]들이 모두 <math>p</math>의 배수이므로 사라지게 되기 때문이다. 이 이름은 이 항등식이 신입생이나 저지를 수 있는 흔한 "실수"처럼 보이기 때문이다.

== 예 ==
유사환 <math>R</math>의 [[유사환#단위화|단위화]] <math>\hat R</math>의 표수는 항상 0이다.

환 <math>R</math> 및 [[모노이드]] <math>M</math>에 대하여, [[모노이드 환]] <math>R[M]</math>의 표수는 <math>R</math>의 표수와 같다.
:<math>\operatorname{char}R[M]=\operatorname{char}R</math>

모든 [[유한체]]의 표수는 소수이며, 유한체의 크기는 그 표수의 거듭제곱이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{char}\mathbb F_{p^n}=p</math>

체 <math>K</math>의 표수와, 그 [[대수적 폐포]]의 표수는 같다.
:<math>\operatorname{char}\bar K=\operatorname{char}K</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=Dummit, D. S., Foote, R. M.|제목=Abstract Algebra|판=2|위치=Englewood Cliffs, New Jersey|출판사=Prentice-Hall|쪽=422|연도=1998}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Characteristic of a field}}
* {{매스월드|id=FieldCharacteristic|title=Field characteristic}}
* {{nlab|id=characteristic|title=Characteristic}}
* {{nlab|id=positive characteristic|title=Positive characteristic}}

== 같이 보기 ==
* [[프로베니우스 사상]]

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]
[[분류:체론]]