환의 스펙트럼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]과 [[대수기하학]]에서, [[가환환]]의 '''스펙트럼'''({{llang|en|spectrum}})은 환의 모든 [[소 아이디얼]]의 집합이다. 기호는 <math>\operatorname{Spec}(R)</math>. 가환환의 스펙트럼은 자연스러운 위상([[자리스키 위상]])과 [[가환환]] 값 [[층 (수학)|층]] 구조를 지녀, [[국소환 달린 공간]]을 이룬다. 이는 [[스킴 (수학)|스킴]]으로 간주할 수 있으며, 이를 '''아핀 스킴'''({{llang|en|affine scheme}})이라고 한다. 아핀 스킴은 [[아핀 대수다양체]]를 일반화한 개념이다.

고전적 [[대수기하학]]은 복소수체 <math>\mathbb C</math>와 같은, [[대수적으로 닫힌 체]]를 주로 다룬다. 이 경우, [[대수다양체]]는 체에 대하여 유한생성되는 대수와 대응된다. 대수적으로 닫히지 않은 [[실수체]] <math>\mathbb R</math> 또는 [[유한체]] 따위를 다루기 위해서는, 보다 더 일반적인 [[환 (수학)|환]]들을 기하학적으로 해석하여야 한다. [[알렉산더 그로텐디크]]는 모든 [[가환환]]을 기하학적으로 해석하여야 한다고 제안하였다.

[[대수적으로 닫힌 체]]의 경우, 다양체의 점들은 [[극대 아이디얼]]에 대응되게 된다. 그러나 극대 아이디얼은 일반적인 체에 대하여서는 사용하기 힘들다. 임의의 [[환 준동형|가환환 준동형]] <math>R\to S</math>가 주어지면, 이는 역으로 <math>S</math>의 기하학적 점들을 <math>R</math>의 기하학적인 점들로 보내야 한다. 그러나 극대 아이디얼의 [[원상 (수학)|원상]]은 극대 아이디얼이 아닐 수 있다. 따라서, 그로텐디크는 극대 아이디얼 대신 [[소 아이디얼]]을 점으로 취급하였다. 소 아이디얼의 원상은 항상 또다른 소 아이디얼이기 때문이다.  [[범주론]]적으로 말하자면, 소 아이디얼들의 집합을 취하는 연산은 [[함자 (수학)|함자성]]을 가진다.

[[소 아이디얼]]은 [[극대 아이디얼]]보다 더 일반적인 개념으로, 이는 고전적인 점 말고도 모든 부분 [[대수다양체]]에 대응하는 점들을 추가하는 것에 해당한다. 이렇게 더해진 점들은 '''일반점'''({{llang|en|generic point}})이라고 한다. 임의의 [[가환환]]의 소 아이디얼들의 집합에 위상수학적인 구조([[자리스키 위상]]) 및 기하학적 구조(구조층)을 부가하여, 가환환을 기하학적인 공간으로 취급할 수 있다. 이를 '''환의 스펙트럼'''이라고 하며, 이렇게 얻는 기하학적 대상을 '''아핀 스킴'''이라고 한다. 보다 일반적인 [[스킴 (수학)|스킴]]들은 아핀 스킴들을 짜깁기하여 만들 수 있다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math>의 '''스펙트럼''' <math>\operatorname{Spec}R</math>는 [[집합]]으로서 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]]들의 [[집합]]이다. 이는 [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>의 [[반대 범주]]에서 [[집합]]의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Spec}\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
를 정의한다. 이 함자에서, [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math>의 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같은 [[함수]]이다.
:<math>\operatorname{Spec}\phi\colon \mathfrak p\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak p)</math>
즉, <math>\operatorname{Spec}</math> 함자는 [[소 아이디얼]]을 그 [[원상 (수학)|원상]]으로 대응시킨다. (이는 [[소 아이디얼]]의 [[원상 (수학)|원상]]이 또다른 [[소 아이디얼]]이므로 가능하다.)

가환환의 스펙트럼은 단순한 집합이 아니라, 다음과 같이 [[국소환 달린 공간]]의 구조를 줄 수 있다. 즉, 이 함자는 사실 [[국소환 달린 공간]]의 범주로 가는 함자
:<math>\operatorname{Spec}\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{LocRingSp}</math>
를 정의한다.

=== 자리스키 위상===
{{본문|자리스키 위상}}
[[가환환]] <math>R</math>의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}(R)</math>에는 '''[[자리스키 위상]]'''이라는 자연스러운 [[위상 공간 (수학)|위상]]이 존재한다. <math>R</math>의 아이디얼 <math>I</math>에 대하여, <math>V_I\subset\operatorname{Spec}(R)</math>가 <math>I</math>를 포함하는 모든 [[소 아이디얼]]의 집합이라고 하자. 자리스키 위상에서, [[닫힌집합]]들은 <math>V_I</math>들이다. 이에 따라 가환환의 스펙트럼은 자연스럽게 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다.

자리스키 위상 아래, 가환환의 스펙트럼은 항상 [[콤팩트 공간]]이며 [[콜모고로프 공간]]이다. 대부분의 경우 가환환의 스펙트럼은 [[하우스도르프 공간]]이 아니다. 만약 <math>R</math>이 [[뇌터 환]]이라면 <math>\operatorname{Spec}(R)</math>은 [[뇌터 공간]]({{llang|en|Noetherian topological space}})이며, 그 역도 성립한다.  가환환의 스펙트럼과 [[위상동형]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 '''스펙트럼 공간'''(spectrum空間, {{llang|en|spectral space}})이라고 한다.

=== 구조층 ===
가환환의 스펙트럼에는 위상뿐만 아니라 [[가환환]] 값의 [[층 (수학)|층]]의 구조가 존재한다. 이 층 구조를 '''구조층'''({{llang|en|structure sheaf}})이라고 한다. <math>f\in R</math>에 대하여, <math>D_f\subset\operatorname{Spec}R</math>가 <math>f</math>를 포함하지 않는 [[소 아이디얼]]들의 집합이라고 하자. 그렇다면 <math>\{D_f\}_{f\in R}</math>는 자리스키 위상의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. 이제 '''구조층''' <math>\Gamma\colon\operatorname{Open}(\operatorname{Spec}R)\to\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math> (<math>\operatorname{Open}(\operatorname{Spec}R)</math>는 <math>\operatorname{Spec}R</math>의 자리스키 [[열린집합]]의 [[부분 순서]] [[범주 (수학)|범주]], <math>\operatorname{CRing}</math>는 [[가환환]]의 [[범주 (수학)|범주]])는 다음과 같다.
:<math>\Gamma(D_f,\mathcal O_X)=R_f</math>
여기서 <math>R_f</math>는 <math>R</math>의 <math>\{1,f,f^2,f^3,\dots\}</math>에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]]다.

임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에서의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{\mathfrak p}</math>는 <math>\mathfrak p</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]이다.
:<math>\mathcal O_{\mathfrak p}=R_{\mathfrak p}</math>
이는 항상 [[국소환]]이므로, <math>\operatorname{Spec}R</math>는 [[국소환 달린 공간]]을 이룬다.

=== 아핀 스킴 ===
'''아핀 스킴'''({{llang|en|affine scheme}})은 어떤 (1이 있는) 가환환의 스펙트럼과 [[동형]]인 [[국소환 달린 공간]]이다. 즉, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 가환환의 스펙트럼의 [[자리스키 위상]]과 [[위상동형]]이고, 또한 그 [[층 (수학)|층]]의 구조가 서로 동형이다. 국소적으로 가환환의 스펙트럼과 동형인 [[국소환 달린 공간]]을 '''[[스킴 (수학)|스킴]]'''이라고 한다.

아핀 스킴은 [[스킴 (수학)|스킴]]을 정의하기 위한 기본적인 벽돌과 같다. 예를 들어, [[매끄러운 다양체]]를 [[유클리드 공간]]들을 이어붙여 정의하듯, 일반적인 스킴은 아핀 스킴들을 이어붙여 정의한다. [[미분기하학]]에서 '작은 열린집합'들이 [[코호몰로지]]가 0이 되어서 여러 가지 좋은 성질들을 만족하듯이, 아핀 스킴들은 아주 비슷한, 독특한 [[코호몰로지]] 성질들을 가진다. 그래서 [[코호몰로지]]의 관점에서 보았을 때, 아핀 스킴들을 [[스킴 (수학)|스킴]]의 ‘충분히 작은 열린집합’으로 보는 것은 아주 자연스러운 일이 된다.

이러한 아핀 스킴의 정의는 [[알렉산더 그로텐디크]]가 정의하였으며, 이러한 언어의 개발은 [[대수기하학]]의 발달에 지대한 공헌을 하였다. 아핀 스킴의 개념은, 기존의 [[아핀 대수다양체]]의 개념을 포함하면서 일반화한 개념이다. 이 경우, [[다항식환]]의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak a\subset k[x_1,\dots,x_n]</math>으로 정의되는 고전적인 아핀 대수다양체에 대응하는 아핀 스킴은 몫환의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}(k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak a)</math>에 대응한다.

Spec은 [[반변함자]]를 이루므로, 아핀 스킴들의 [[범주 (수학)|범주]]는 (1을 가진) 가환환들의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>의 [[반대 범주]] <math>\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 성질 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''스펙트럼 공간'''({{llang|en|spectral space}})이라고 한다.
* <math>X\cong\operatorname{Spec}R</math>인 [[가환환]] <math>R</math>가 존재한다.
* <math>X</math>는 [[콜모고로프 공간]]들의 [[역극한]]이다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[콜모고로프 공간|콜모고로프]] [[차분한 공간]]이며, <math>X</math>의 콤팩트 [[열린집합]]들의 모임은 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이루며, <math>X</math>의 두 콤팩트 [[열린집합]] <math>C_1,C_2\subseteq X</math>에 대하여, <math>C_1\cap C_2</math> 역시 [[콤팩트 집합]]이다.

== 예 ==
=== 자명한 경우 ===
[[자명환]]의 스펙트럼은 [[공집합]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>\varnothing</math>이다. 이는 [[크룰 차원]]이 0인 아핀 스킴이며, 모든 스킴들의 범주의 [[시작 대상]]이다.

[[체 (수학)|체]] <math>k</math>의 스펙트럼은 <math>\{0\}</math>이다. 즉, 하나의 점(영 아이디얼)만을 포함한다. 그 구조층은 <math>\mathcal O(\{0\})=k</math>, <math>\mathcal O(\varnothing)=0</math> ([[자명환]])이다. 이는 [[크룰 차원]]이 0인 아핀 스킴이다. 이 경우, <math>\{0\}</math> 위의 줄기는 <math>k</math>이다.

소수 <math>p</math>에 대하여, [[정수환]]의 [[몫환]] <math>\mathbb Z/(p^n)</math>의 [[소 아이디얼]]은 <math>(p)</math>밖에 없다. 따라서, 그 스펙트럼은 [[한원소 공간]]이다. <math>(p)</math>에서의 줄기는 <math>\mathbb Z/(p^n)</math> 자체이다. (<math>\mathbb Z/(p^n)</math>에서 <math>(p)</math>에 속하지 않는 모든 원소는 이미 [[가역원]]이므로, [[국소화 (환론)|국소화]]는 자명하다.)

보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 <math>\textstyle k=\prod_ip_i^{n_i}</math>에 대하여, <math>\mathbb Z/(k)</math>는 [[중국인의 나머지 정리]]에 따라 <math>\mathbb Z/(p^n)</math> 꼴의 [[가환환]]들의 [[직접곱]]이므로, <math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z/(k))</math>는 <math>k</math>의 각 소인수 <math>(p_i)</math>에 대하여 하나의 점을 갖는 [[이산 공간]]이며, [[크룰 차원]]이 0이다. 이 경우, <math>(p_i)</math>에서의 줄기는 <math>\mathbb Z/(p_i^{n_i})</math>이다.

=== 정수환 ===
[[파일:Spec Z.png|섬네일|right|565px|정수환의 스펙트럼은 1차원 아핀 스킴을 이룬다. 닫힌 점들은 [[소수 (수론)|소수]]들에 대응하고, 이 밖에도 [[일반점]] (0)이 있다.]]
[[정수]]의 환 <math>\mathbb Z</math>의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>를 생각하자. 집합으로서, <math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z)</math>의 원소는 아디디얼들 <math>(k)</math> (<math>k</math>는 0 또는 [[소수 (수론)|소수]] 2,3,5,7,…)이다. 여기에 [[자리스키 위상]]에 따라, [[닫힌집합]]들은 <math>\{(k)|k\in K\}</math> (<math>K</math>는 소수의 [[유한 집합]]) 또는 <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math> 전체이다. 즉, <math>(0)</math>을 제외한 다른 모든 점들은 닫혀 있다. <math>\{(0)\}</math>은 닫혀 있지 않고, 그 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 <math>\operatorname{cl}\{(0)\}=\operatorname{Spec}\mathbb Z</math> 전체이다. 이러한 점(그 폐포가 공간 전체인 점)을 '''[[일반점]]'''이라고 한다.

<math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>는 [[크룰 차원]]이 1인 아핀 스킴이며, 이는 스킴의 범주의 [[끝 대상]]이다.

일반적으로, [[체 (수학)|체]]가 아닌 [[주 아이디얼 정역]]의 스펙트럼은 [[크룰 차원]]이 1인 아핀 스킴이다.

=== 대수적으로 닫힌 체의 다항식환 ===
<math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. 그렇다면 다항식환 <math>k[x_1,\dots,x_n]</math>을 생각하자. 이 환의 스펙트럼의 원소들은 아핀 [[대수다양체]] <math>V\subset\mathbb A^n_k</math>와 [[일대일 대응]]한다. 이들은 다음과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.
* [[소 아이디얼]] 가운데, [[극대 아이디얼]] <math>(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)</math>들은 고전적 [[아핀 공간]] <math>k^n</math>의 점 <math>(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>에 대응한다. 이는 아핀 스킴의 닫힌 점들이다.
* 또한, 점이 아닌 각 [[아핀 대수다양체]] <math>V\subset\mathbb A^n_k</math>에도 [[소 아이디얼]]이 대응된다. 이는 <math>V</math>를 근의 [[부분 집합]]으로 포함하는 모든 다항식의 집합 <math>\mathcal I(V)</math>이다. 이 점들은 닫혀있지 않으며, 그 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 대응되는 아핀 대수다양체 전체이다. 이들은 아핀 대수다양체에 대응하는 일반점이다.
* 마지막으로, 아핀 공간 전체에 대응하는 아이디얼 <math>(0)</math>이 있으며, 그 폐포는 스펙트럼 전체이다. 이는 아핀 공간 전체에 대응하는 일반점이다.

=== 대수적으로 닫히지 않은 체의 다항식환 ===
<math>k</math>가 대수적으로 닫히지 않은 체라고 하고, <math>\bar k</math>가 그 [[대수적 폐포]]라고 하자. 그렇다면 포함 사상 <math>k[x_1,\dots,x_n]\hookrightarrow\bar k[x_1,\dots,x_n]</math>이 있고, (Spec은 반변함자이므로) 이는 아핀 스킴 사이의 사상 <math>\mathbb A^n_{\bar k}\to\mathbb A^n_k</math>을 발생시킨다.

예를 들어, <math>\mathbb A^1_{\mathbb R}</math>을 생각하자. 이 경우, <math>\mathbb C[x]</math>의 극대 아이디얼 <math>(x-a)</math>의 [[원상 (수학)|원상]]은 다음과 같은 아이디얼이다.
* <math>a\in\mathbb R</math>인 경우, <math>(x-a)\subset\mathbb R[x]</math>
* <math>a\in\mathbb C\setminus\mathbb R</math>인 경우, <math>((x-a)(x-\bar a))=(x-2(a+\bar a)x+a\bar a)\subset\mathbb R[x]</math>
따라서, <math>\mathbb A^1_{\mathbb R}</math>의 점들은 다음과 같다.
* <math>(x-a)</math>, <math>a\in\mathbb R</math>. 이는 고전적 1차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb R</math>과 일대일 대응하며, 닫힌 점이다.
* <math>((x-a)(x-\bar a))</math>, <math>a\in\mathbb C\setminus\mathbb R</math>. 이 또한 닫힌 점이다. 이는 열린 복소수 [[상반평면]] <math>\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z>0\}</math>과 일대일 대응한다.
* <math>(0)</math>. 이는 아핀 공간 전체에 대응하며, 그 폐포는 스펙트럼 전체다.
(1차원의 경우에는 자명하지 않은 부분 대수다양체가 없다.) 따라서, 1차원 실수 아핀 스킴은 닫힌 복소 반평면 <math>\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z\ge0\}</math>으로 해석할 수 있다.

일반적으로, <math>\mathbb A^n_k</math>는 <math>\mathbb A^n_{\bar k}</math>의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Aut}(\bar k/k)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대한 [[몫공간]](궤도들의 집합)으로 생각할 수 있다. <math>\operatorname{Aut}(\mathbb C/\mathbb R)</math>의 경우, 갈루아 군의 작용은 <math>z\mapsto\bar z</math>이므로, 그 몫공간은 닫힌 복소수 [[상반평면]]이다.

=== 정수 계수 다항식환 ===

정수 계수 다항식환 <math>\mathbb Z[x]</math>의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]</math>을 생각하자. 편의상, 포함 사상 <math>\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z[x]</math>에 대응되는 스킴 사영 사상
:<math>\pi \colon \operatorname{Spec}\mathbb Z[x] \to \operatorname{Spec}\mathbb Z</math>
을 생각하자. 이는 [[전사 함수]]이므로, <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]</math>의 점은 <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>의 한 점에 대응된다. (즉, <math>\mathbb Z[x]</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathbb p</math>의 경우, 최다 한 개의 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>(p) \subseteq\mathfrak p</math>가 성립하며, 이 경우 <math>\mathbb p</math>는 <math>(p)\in\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>에 대응된다. 만약 아무 소수 <math>p</math>에 대하여 이것이 성립하지 않는다면, <math>\mathbb p</math>는 <math>(0)\in\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>에 대응된다.)

즉, 다음 두 가지가 있다.
* <math>\pi</math>의 <math>(p)</math> 위의 올은 [[유한체]] 위의 [[아핀 직선]] <math>\operatorname{Spec}\mathbb F_p[x]</math>이다. <math>\mathbb F_p[x]</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 이에 속하는 [[소 아이디얼]]은 0 또는 [[유한체]] 계수의 [[기약 다항식]] <math>f\in\mathbb F_p[x]</math>에 의하여 분류된다. (이는 [[대수적 폐포]]의 원소 <math>\alpha \in \bar{\mathbb F}_p</math>의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F}_p/\mathbb F_p)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대한 궤도로 여길 수 있다.)
* <math>\pi</math>의 <math>(0)</math> 위의 올은 [[유리수체]] 위의 [[아핀 직선]] <math>\operatorname{Spec}\mathbb Q[x]</math>이다. <math>\mathbb Q[x]</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 이에 속하는 [[소 아이디얼]]은 0 또는 유리수 계수의 [[기약 다항식]] <Math>f\in\mathbb Q[x]</math>에 의하여 분류된다. (이는 [[대수적 수]] <math>\alpha \in \bar{\mathbb Q}</math>의, [[절대 갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대한 궤도로 여길 수 있다.)

즉, 이는 정리하면 [[아이디얼의 높이|높이]]에 따라 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 높이 || 닫힌점? || 설명
|-
| 0 || 아니오 || [[일반점]] <math>(0)</math> ([[영 아이디얼]])
|-
| rowspan=2 | 1
| rowspan=2 | 아니오 || <math>(p)</math> (<math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]])
|-
| <math>(f)</math> (<math>f\in\mathbb Q[x]</math>는 [[기약 다항식]])
|-
| 2 || 예 || <math>(p,f)</math> (<math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]], <math>f\in\mathbb F_p[x]</math>는 [[기약 다항식]])
|}

즉, 그 점들은 일종의 2차원 좌표로 표현될 수 있다. (물론, 실제로 <math>\mathbb Z[x]</math>의 [[크룰 차원]]은 2이다.)
:{| style="text-align: center"
|-
| style="color:red" |
⋮<br>
<math>\color{Red}(x^2+1)</math><br>
⋮<br>
<math>\color{Red}(2x-1)</math><br>
<math>\color{Red}(2x+1)</math><br>
⋮<br>
<math>\color{Red}(x+2)</math><br>
<math>\color{Red}(x+1)</math><br>
<math>\color{Red}(x)</math>
|
⋮<br>
<math>(2,x^3+x+1)</math><br>
<math>(2,x^2+x+1)</math><br>
<math>(2,x+1)</math><br>
<math>(2,x)</math>
|
⋮<br>
<math>(3,x^2+1)</math><br>
<math>(3,x-1)</math><br>
<math>(3,x+1)</math><br>
<math>(3,x)</math>
|
⋮<br>
<math>(5,x-1)</math><br>
<math>(5,x-2)</math><br>
<math>(5,x+2)</math><br>
<math>(5,x+1)</math><br>
<math>(5,x)</math>
| ⋯
|-
| style="color:red" | (0)
| style="color:red" | (2)
| style="color:red" | (3)
| style="color:red" | (5)
| style="color:red" | ⋯
|}

이 표에서, 닫힌점은 검은 색이며, 닫힌점이 아닌 점은 붉은 색이다. 높이가 1인 점(의 폐포)은 이 ‘곡면’ 속의 일종의 곡선으로 여길 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}
*{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| year = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}

== 같이 보기 ==
* [[사영 스펙트럼]] (Proj)

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:스킴 이론]]