환원 불능의 경우 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서, '''환원 불능의 경우'''({{llang|la|casus irreducibilis|카수스 이레두키빌리스}})는 서로 다른 세 실근을 갖는 [[유리수]] 계수 3차 [[기약 다항식]]의 실근을 [[거듭제곱근]]을 사용하여 나타낼 때, [[실수]]이지 않은 [[복소수]]에 거듭제곱근을 씌우는 것을 피할 수 없는 현상이다.

== 정의 ==
=== 유리수체 ===
유리수 계수 다항식
:<math>f\in\mathbb Q[x]</math>
가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* [[기약 다항식]]이다. 즉, 더 낮은 차수의 유리수 계수 다항식들의 곱으로 나타낼 수 없다.
* 모든 근이 실수이다.
* 하나 이상의 근을 실수 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
그렇다면, <math>f</math>의 모든 근은 [[작도 가능한 수]]이다.<ref name="DF">{{서적 인용|성1=Dummit|이름1=David S.|성2=Foote|이름2=Richard M.|제목=Abstract algebra|언어=en|판=3|출판사=Wiley|위치=Chichester|날짜=2004|isbn=0-471-43334-9|mr=2286236|zbl=1037.00003}}</ref>{{rp|633}} 즉, 유리수 및 제곱근 및 사칙 연산만으로 나타낼 수 있다. 특히, 다음이 성립한다.
* <math>f</math>의 모든 근은 실수 및 사칙 연산 및 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.
* <math>f</math>의 [[분해체]]의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(f)</math>는 [[p-군|2-군]]이다. 즉, <math>f</math>의 [[분해체]]의 [[체의 확대의 차수|차수]]는 2의 거듭제곱이다.
* <math>f</math>의 차수는 2의 거듭제곱이다.
예를 들어, 만약 유리수 계수 3차 [[기약 다항식]] <math>f\in\mathbb Q[x]</math>가 서로 다른 세 실근을 갖는다면 (즉, [[판별식]]이 양의 유리수라면), 어떤 실근도 실수의 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 없다. 즉, 반드시 실수이지 않은 복소수의 거듭제곱근을 사용하여야 한다. 이를 '''환원 불능의 경우'''라고 한다.

=== 형식적 실체 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[형식적 실체]] <math>Q</math>. 그 [[실폐포]]를 <math>Q^{\operatorname{re}}</math>로 쓰자.
* 다항식 <math>f\in Q[x]</math>. 또한, 이는 다음을 만족시킨다.
** [[기약 다항식]]이다. 즉, 더 낮은 차수의 <math>Q</math> 계수 다항식들의 곱으로 나타낼 수 없다.
** 모든 근이 <math>Q^{\operatorname{re}}</math>의 원소이다.
** 하나 이상의 근을 <math>Q^{\operatorname{re}}</math>의 원소 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
그렇다면, <math>f</math>의 모든 근은 [[작도 가능한 수|작도 가능한 원소]]이다.<ref name="DF">{{서적 인용|성1=Dummit|이름1=David S.|성2=Foote|이름2=Richard M.|제목=Abstract algebra|언어=en|판=3|출판사=Wiley|위치=Chichester|날짜=2004|isbn=0-471-43334-9|mr=2286236|zbl=1037.00003}}</ref>{{rp|633}} 즉, <math>Q</math>의 원소 및 제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다. 특히, 다음이 성립한다.
* <math>f</math>의 모든 근은 <math>Q^{\operatorname{re}}</math>의 원소 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
* <math>f</math>의 [[분해체]]의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(f)</math>는 [[p-군|2-군]]이다. 즉, <math>f</math>의 [[분해체]]의 [[체의 확대의 차수|차수]]는 2의 거듭제곱이다.
* <math>f</math>의 차수는 2의 거듭제곱이다.

특히, [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>는 [[형식적 실체]]이며, 그 [[실폐포]] <math>\mathbb Q^{\operatorname{re}}=\bar\mathbb Q\cap\mathbb R</math>는 [[대수적 수]]인 [[실수]]의 체이다.

== 참고 문헌 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CasusIrreducibilis|제목=Casus irreducibilis}}
* {{proofwiki|id=Definition:Irreducible Case of Cubic|제목=Definition: irreducible case of cubic}}

[[분류:다항식]]