확률 변수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Random Variable as a Function-en.svg|섬네일]]
{{확률론}}
[[확률론]]에서 '''확률 변수'''(確率變數, {{llang|en|random variable}})는 [[확률 공간]]에서 다른 [[가측 공간]]으로 가는 [[가측 함수]]이다.<ref name="UCSB">{{웹 인용|url=http://econ.ucsb.edu/~doug/245a/Lectures/Measure%20Theory.pdf|title=Economics 245A – Introduction to Measure Theory|last=Steigerwald|first=Douglas G.|publisher=University of California, Santa Barbara|accessdate=April 26, 2013}}</ref> 시행의 결과에 따라 값이 결정되는 변수를 나타낸다.<ref>{{서적 인용|title=Introduction to Probability|last1=Blitzstein|first1=Joe|last2=Hwang|first2=Jessica|date=2014|publisher=CRC Press|isbn=9781466575592}}</ref> 가측 함수 조건은 확률 변수가 [[공역]]이 되는 가측 공간 위에 새로운 [[확률 측도]]를 유도할 수 있도록 하기 위해 필요하다. 이 확률 측도는 흔히 [[확률 분포]]라고 부른다.

확률 변수는 아직 실제로 나타나지는 않았지만 나타날 가능성이 있는 모든 경우의 수에 해당하는 값을 가질 수 있다. 주사위를 굴리는 등 실제로 무작위적인 시행에 대해서도 쓸 수 있고, [[양자역학]]처럼 예측 불가능한 물리적 변수의 시행 결과에 대해서도 확률 변수라는 단어를 사용한다. 이처럼 정확히 알지 못하는 어떤 양적 변수의 잠재적인 결과에 대해 확률이라는 단어를 쓸 수 있는가에 대한 [[확률 해석|논의]]도 오랜 시간 동안 이루어져왔다.

== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math> 위의, [[가측 공간]] <math>(E, \mathcal{E})</math>의 값을 가지는 '''확률 변수'''는 [[가측 함수]] <math>X\colon (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})</math>를 뜻한다. (즉, 임의의 [[가측 집합]] <math>S\in\mathcal E</math>에 대하여, 사건 <math>X^{-1}(S)\in\mathcal F</math> 및 그 확률을 생각할 수 있다.) 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.
* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]'''이다.
* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math>은 확률 변수의 '''상태 공간'''(狀態空間, {{llang|en|state space}})이다.
확률 변수 <math>X\colon\Omega\to E</math>는 그 상태 공간 <math>E</math> 위에 다음과 같은 [[확률 측도]] <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 유도한다.
:<math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math>
이는 확률 변수 <math>X</math>가 '''<math>S</math> 속의 값을 가질 확률'''이라고 한다. 여기서
:<math>X^{-1}(S)=\{\omega\in\Omega\colon X(\omega)\in S\}</math>
이다.

만약 상태 공간이 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]인 경우, 상태 공간은 통상적으로 [[보렐 시그마 대수]]를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 [[보렐 시그마 대수]]에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 [[르베그 가측 집합]]의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.) 만약 정의역이 이산 확률 공간(즉, 모든 부분 집합이 사건인 확률 공간)일 경우, 모든 함수 <math>\Omega\to E</math>는 [[가측 함수]]이며, 따라서 정의에서 가측성 조건을 생략할 수 있다.

== 예 ==
=== 예1 ===
주사위를 던져 나오는 눈의 수를 추상화한 [[확률 공간]]
:<math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math>
:<math>\Omega=\{1,2,\dots,6\}</math>
:<math>\mathcal F=\mathcal P(\{1,2,\dots,6\})</math>
:<math>\operatorname{Pr}(\{1\})=\operatorname{Pr}(\{2\})=\operatorname{Pr}(\{3\})=\operatorname{Pr}(\{4\})=\operatorname{Pr}(\{5\})=\operatorname{Pr}(\{6\})=1/6</math>
을 생각하자. 즉, 1부터 6까지의 수가 나올 수 있으며, 각각의 수가 나올 확률은 같다. 이 확률 공간 위에 다음과 같은 확률 변수를 정의하자.
:<math>X\colon 2,4,6\mapsto 0</math>
:<math>X\colon 1,3,5\mapsto 1</math>
즉, <math>X</math>는 짝수가 나왔을 경우 0, 홀수가 나왔을 경우 1을 취한다. 그렇다면 주사위를 던져 짝수가 나올 확률은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(X=0)=\operatorname{Pr}(\{2,4,6\})=1/2</math>
마찬가지로, 홀수가 나올 확률은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(X=1)=\operatorname{Pr}(\{1,3,5\})=1/2</math>

=== 예2 ===
두 개의 주사위를 던진 결과의 [[확률 공간]]
:<math>(\Omega\times\Omega,\mathcal F\times\mathcal F,\operatorname{Pr}\times\operatorname{Pr})</math>
을 생각하자. 즉, 두 주사위의 눈의 수는 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이다. 두 눈의 수의 합을 나타내는 확률 변수
:<math>Y\colon(i,j)\mapsto i+j</math>
의 [[확률 분포]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(Y=2)=\operatorname{Pr}(\{(1,1)\})=1/36</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=3)=\operatorname{Pr}(\{(1,2),(2,1)\})=1/18</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=4)=\operatorname{Pr}(\{(1,3),(2,2),(3,1)\})=1/12</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=5)=\operatorname{Pr}(\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\})=1/9</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=6)=\operatorname{Pr}(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\})=5/36</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=7)=\operatorname{Pr}(\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\})=1/6</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=8)=\operatorname{Pr}(\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\})=5/36</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=9)=\operatorname{Pr}(\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\})=1/9</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=10)=\operatorname{Pr}(\{(4,6),(5,5),(6,4)\})=1/12</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=11)=\operatorname{Pr}(\{(5,6),(6,5)\})=1/18</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=12)=\operatorname{Pr}(\{(6,6)\})=1/36</math>

== 같이 보기 ==
* [[사건 (확률론)]]
* [[무작위성]]
* [[확률 과정]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The development of rigor in mathematical probability (1900–1950)|이름=Joseph L.|성=Doob|저널=The American Mathematical Monthly|doi=10.2307/2974673|jstor=2974673|권=103|호=7|issn=0002-9890|날짜=1996-08|zbl=0865.01011|mr=1404084|언어=en}}
* {{서적 인용 |성1=Kersting |이름1=Götz |성2=Wakolbinger |이름2=Anton |날짜=2014 |제목=Zufallsvariable und Stochastische Prozesse|출판사=Birkhäuser|isbn=978-3-7643-8432-6| 언어=de}}
* {{서적 인용 |성1=Fahrmeir |이름1=Ludwig |성2=Künstler |이름2=Rita |성3=Pigeot |이름3=Iris|성4=Tutz |이름4=Gerhard |날짜=2012 |제목=Statistik: Der Weg zur Datenanalyse||판=Auflage 7|출판사=Springer|isbn=978-3-6420-1938-8| 언어=de}}
* {{서적 인용 |성=Papula |이름=Lothar |날짜=2011 |제목=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3|판=Auflage 6|출판사=Vieweg+Teubner Verlag|isbn=978-3-8348-1227-8| 언어=de}}

== 외부 링크 ==
* [http://matheguru.com/stochastik/182-zufallsvariablen.html Zufallsvariablen (독일어)]
* [http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/wtheorie/zufallsvariable.html?print=1 Zufallsvariable, Erwartungswert und Streuung (독일어)]
* {{eom|title=Random variable}}
* {{매스월드|id=RandomVariable|title=Random variable}}
* {{매스월드|id=StateSpace|title=State space}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:난수]]
[[분류:통계적 무작위성]]