화환곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]과 [[반군론]]에서 '''화환곱'''(花環-, {{llang|en|wreath product}})은 [[군 (수학)|군]]이나 [[반군]]의 [[군의 작용|작용]]이 갖추어진 [[집합]]에 대한 합성 연산이다.

== 정의 ==
[[반군]] <math>G</math>가 오른쪽에서 [[군의 작용|작용]]하는 [[집합]] <math>A</math>와 반군 <math>H</math>가 오른쪽에서 작용하는 집합 <math>B</math>가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 집합 <math>G^B\times H</math> 위에 다음과 같은 [[반군]] 구조를 줄 수 있다.
:<math>\left((g_b)_{b\in B},h\right)\cdot\left((g'_b)_{b\in B},h'\right)=\left((g_bg'_{b\cdot h})_{b\in B},hh'\right)</math>
이 반군은 <math>A\times B</math> 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
:<math>(a,b)\cdot\left((g_{b'})_{b'\in B},h\right)=(a\cdot g_b,b\cdot h)</math>
이를 <math>(G,A)</math>와 <math>(H,B)</math>의 '''화환곱'''이라고 하며,
:<math>(G,A)\wr(H,B)</math>
로 표기한다.

== 성질 ==
화환곱은 [[결합 법칙]]을 따른다. 즉, 반군 작용이 갖추어진 집합 <math>(G,A)</math>, <math>(H,B)</math>, <math>(K,C)</math>이 주어졌을 때
:<math>(G,A)\wr\left((H,B)\wr(K,C)\right)\cong\left((G,A)\wr(H,B)\right)\wr(K,C)</math>
이다.

화환곱 <math>(G_1,A_1)\wr\cdots\wr(G_k,A_k)</math>에서, 모든 <math>G_i</math>가 [[군 (수학)|군]]을 이룬다면, 그 화환곱 역시 군을 이룬다.

'''크라스너-칼루주닌 매장 정리'''({{llang|en|Krasner-Kaloujnine embedding theorem}})에 따르면, 군의 [[짧은 완전열]]
:<math>1\to N\to G\to Q\to1</math>
가 주어졌고, 각 군은 스스로 위에 작용한다고 여겼을 때, <math>N\wr Q</math>는 <math>G</math>를 부분군으로 가진다. [[반군]]의 경우, 위와 유사한 '''크론-로즈 정리'''({{llang|en|Krohn–Rhodes theorem}})가 존재한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Wreath product}}
* {{nlab|id=wreath product of groups|title=Wreath product of groups}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/External_wreath_product|제목=External wreath product|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Restricted_external_wreath_product|제목=Restricted external wreath product|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Action_of_wreath_product_on_Cartesian_product|제목=Action of wreath product on Cartesian product|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/External_wreath_product_with_diagonal_action|제목=External wreath product with diagonal action|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:순열군]]
[[분류:반군론]]
[[분류:이항연산]]