화이트헤드 문제 문서 원본 보기

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[[군론]]과 [[집합론]]에서 '''화이트헤드 문제'''({{llang|en|Whitehead problem}})는 정수 계수의 1차 [[Ext 함자]]가 [[자명군]]인 아벨 군이 항상 [[자유 아벨 군]]인지에 대한 문제다. 통상적인 집합론 공리계([[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])와 독립적이다.

== 정의 ==
'''화이트헤드 문제'''는 다음 두 조건을 만족시키는 [[아벨 군]] <math>A</math>가 존재하는지 여부를 묻는다.
* <math>A</math>는 [[자유 아벨 군]]이 아니다.
* <math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(A,\mathbb Z)\cong0</math>
두 번째 조건은 [[아벨 군]]의 [[아벨 범주]]에서의 [[Ext 함자]]에 대한 조건으로, 풀어 쓰면 다음과 같다.
* 임의의 [[아벨 군]] <math>B</math> 및 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]] <math>f\colon B\to A</math>에 대하여, 만약 <math>\ker f\cong\mathbb Z</math>라면, <math>f\circ g=\operatorname{id}_A</math>인 [[군 준동형]] <math>g\colon A\to B</math>가 항상 존재한다.
두 번째 조건을 만족시키는 군을 '''화이트헤드 군'''({{llang|en|Whitehead group}})이라고 한다.

== 성질 ==
모든 자유 아벨 군은 화이트헤드 군이다. 화이트헤드 군의 [[부분군]]은 화이트헤드 군이다. 가산 비자유 화이트헤드 군은 존재하지 않는다.<ref name="Stein">{{저널 인용
|last=Stein|first= Karl
|title=Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1951_123/page/n206|journal= Mathematische Annalen  |volume=123|year=1951|pages= 201–222
|doi=10.1007/BF02054949
|mr=0043219|issn=0025-5831|언어=de}}</ref>

비가산 비자유 화이트헤드 군의 존재 여부는 사용하는 [[집합론]]에 따라 달라진다.
* [[체르멜로-프렝켈 집합론]] + [[구성 가능성 공리]]로부터, 화이트헤드 군의 부재를 보일 수 있다.
* [[체르멜로-프렝켈 집합론]] + [[마틴 공리]] + [[연속체 가설]]의 부정으로부터, 크기가 <math>\aleph_1</math>인 화이트헤드 군의 존재를 보일 수 있다.
이들 이론의 무모순성은 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 무모순성과 동치이므로, 만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면 화이트헤드 문제는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 독립적이다. 또한, 나아가 화이트헤드 문제는 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) [[체르멜로-프렝켈 집합론]] + [[선택 공리]] + [[일반화 연속체 가설]]과도 독립적이다.

== 역사 ==
[[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드]]가 1950년대에 이 문제를 제기하였다. 1951년에 카를 슈타인({{llang|de|Karl Stein}})은 모든 가산 화이트헤드 군이 [[자유 아벨 군]]임을 증명하였다.<ref name="Stein"/>

1974년에 [[사하론 셸라흐]]는 크기가 <math>\aleph_1</math>인 군에 대한 화이트헤드 문제가 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 독립적임을 보였고,<ref>{{저널 인용| first=S.|last=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|title=Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions
|journal=Israel Journal of Mathematics |volume=18 |날짜=1974|pages=243–256|doi=10.1007/BF02757281| mr=0357114| issue=3|issn=0021-2172|언어=en}}</ref> 이듬해에 [[구성 가능성 공리]]를 가정하면 어떠한 크기의 비자유 화이트헤드 군도 존재하지 않음을 보였다.<ref>{{저널 인용|이름=S.|성=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|제목=A compactness theorem for singular cardinals, free algebras, Whitehead problem and transversals|저널=Israel Journal of Mathematics|권= 21 |날짜=1975|쪽=319–349|호=4|doi=10.1007/BF02757993|issn=0021-2172|언어=en}}</ref> 셸라흐는 1977년~1980년에 화이트헤드 문제가 [[일반화 연속체 가설]]을 추가로 가정하여도 역시 독립적임을 보였다.<ref>{{저널 인용|first=S.|last=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|title=Whitehead groups may not be free, even assuming CH. I
|journal=Israel Journal of Mathematics |volume=28 |날짜=1977|pages=193–203|doi=10.1007/BF02759809|mr=0469757|issue=3|issn=0021-2172|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first=S.|last=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|title=Whitehead groups may not be free, even assuming CH. II
|journal=Israel Journal of Mathematics |volume=35 |날짜=1980|pages=257–285|doi=10.1007/BF02760652|mr=0594332|issue=4|issn=0021-2172|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[자유 아벨 군]]
* [[구성 가능성 공리]]

== 각주 ==
{{각주}}
*{{저널 인용|first= Paul C. |last=Eklof|title=Whitehead’s problem is undecidable|journal=The American Mathematical Monthly|volume= 83|issue= 10|year=1976|pages= 775–788|doi= 10.2307/2318684|jstor=2318684 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Whitehead problem}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]
[[분류:집합론]]