화살집 게이지 이론 문서 원본 보기

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[[양자장론]]에서 '''화살집 게이지 이론'''(화살집gauge異論, {{lang|en|quiver gauge theory}})은 특정한 꼴의 [[화살집 (수학)|화살집]]으로 정의되는 [[게이지 이론]]이다.

== 정의 ==
편의상, 4차원 시공간의 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭 게이지 이론]]을 생각하자.

'''화살집 게이지 이론'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 유한 [[화살집 (수학)|화살집]] <math>Q</math>
* <math>Q</math>의 각 꼭짓점 <math>v\in\operatorname V(Q)</math>에 대하여, [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G_v</math>. 이는 [[유니터리 군]] <math>\operatorname U(N)</math>, [[특수 유니터리 군]] <math>\operatorname{SU}(N)</math>, [[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(N)</math>, [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{USp}(N)</math> 가운데 하나이어야 한다.
이 경우, 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭 게이지 이론]]이다.
* 게이지 군은 <math>\textstyle\prod_{v\in\operatorname V(Q)}G_v</math>이다.
* <math>Q</math>의 각 변 <math>e\colon u\to v</math>에 대하여, 정의 표현({{llang|en|defining representation}}) <math>\bar N_u \otimes N_v</math>로 변환하는 손지기 [[초장 (물리학)|초장]] <math>\Phi_e</math>이 존재한다.

이러한 표현을 '''쌍기본 표현'''({{lang|en|bifundamental representation}})이라고 한다. 예를 들어, <math>\mathrm{SU}(2)</math>와 <math>\mathrm{SU}(3)</math> 사이에 있는 변은 6차원 표현 <math>\bar{\mathbf2}_{\operatorname{SU}(2)}\otimes{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}</math>으로 변환한다.

다른 차원의 경우도 마찬가지의 꼴로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다.

화살집 도형은 특히 [[등각 장론|등각]] [[게이지 이론]]을 나타내는 데 편하다. 화살집 도형의 구조로 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.

== 성질 ==
=== 변칙 상쇄 조건 ===
편의상, 4차원 <math>\mathcal N=1</math> SU(N)×…×SU(N) [[양-밀스 이론]]을 생각하자. 이는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 유한 [[화살집 (수학)|화살집]] <math>Q</math>
* 함수 <math>N \colon \operatorname V(Q)\to \{2,3,\dotsc\}</math>. 즉, 각 꼭짓점 <math>v\in\operatorname V(Q)</math>에 대하여, 2 이상의 정수 <math>N_v</math>. 즉, 이 꼭짓점은 게이지 군 <math>\operatorname U(N_v)</math>에 대응한다.

이제, 다음과 같은 <math>|\operatorname E(Q)|\times|\operatorname V(Q)|</math> 부호 결합 행렬({{llang|en|signed incidence matrix}})을 정의하자.
:<math>B_Q\in\operatorname{Mat}(|\operatorname V(Q)|,|\operatorname E(Q)|;\mathbb Z)</math>
:<math>M(e,v) = \begin{cases}
+1 & v = t(e) \ne s(e)\\
-1 & v = s(e) \ne t(e)\\
0 & v = t(e) = s(e) \\
0 & s(e) \ne v \ne t(e)
\end{cases}</math>
그렇다면, 부호 [[인접 행렬]]({{llang|en|signed adjacency matrix}})
:<math>A_Q=B_Q^\top B_Q</math>
을 정의할 수 있다.

또한, <math>N</math>을 <math>|\operatorname V(Q)|\times 1</math> 열벡터로 간주하자.

<math>(Q,N)</math>에 대응되는 화살집 게이지 이론이 [[게이지 변칙]]을 갖지 않으려면, 다음 조건이 성립해야 한다.<ref name="Yamazaki">{{저널 인용|제목=Brane tilings and their applications|arxiv=0803.4474|bibcode=2008ForPh..56..555Y|doi=10.1002/prop.200810536|저널=Fortschritte der Physik|권=56|호=6|쪽=555-686|날짜=2008-06|성=Yamazaki|이름=Masahito|언어=en|issn=0015-8208}}</ref>{{rp|(2.4)}}
:<math>B_Q^\top B_Q N = 0</math>
이는 각 꼭짓점 <math>\operatorname{SU}(N_v)</math>에서, 기본 표현과 반기본 표현의 수의 합이 0이 되어야 하기 때문이다. (만약 <math>N_v=2</math>일 경우, 대역적 위튼 변칙이 발생한다.)

=== 끈 이론을 통한 구성 ===
일부 화살집 게이지 이론은 [[점근 국소 유클리드 공간]] 위에 평행한 [[D-막]]들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.<ref name="DM"/><ref>{{저널 인용|제목=On geometric engineering of N=1 ADE quiver models|이름=Adil|성=Belhaj|arxiv=hep-th/0310230|bibcode=2003hep.th...10230B|날짜=2003-07|언어=en}}</ref><ref name="He"/><ref name="Yamazaki"/>{{rp|§2.2}}

구체적으로, [[SU(2)]]의 유한 부분군 <math>\Gamma\le\operatorname{SU}(2)</math>가 주어졌을 때, <math>\mathbb R^4 \cong \mathbb C^2</math>의 [[뒤발 특이점]]
:<math>\mathbb C^2/\Gamma</math>
을 정의할 수 있다. 이는 [[오비폴드]]이므로, 이 위의 [[초끈 이론]]을 정의할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 <math>N</math>개의 [[D5-막]]을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 <math>\Gamma</math>의 [[매케이 화살집]]에 해당하는 5+1차원 <math>\mathcal N=(1,0)</math> 화살집 게이지 이론이 존재한다.<ref name="DM"/><ref name="He">{{저널 인용|성=He|이름=Yang-Hui|날짜=2004|제목=Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities|arxiv=hep-th/0408142|언어=en}}</ref>{{rp|§4}}<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9803015|언어=en}}</ref>{{rp|§2.1}}

이는 오비폴드를 가하기 이전의 6차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 이론에 오비폴드를 가한 것으로 볼 수 있다. 이는 (<math>\mathcal N=(1,0)</math>의 언어를 사용하면) 하나의 [[딸림표현]] 벡터 초다중항과 하나의 [[딸림표현]] 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간 <math>\mathbb C^N</math>은 <math>\Gamma</math>의 [[군의 표현|유니터리 표현]]으로 분류된다. 이러한 표현을 <math>\Gamma</math>의 기약 표현으로 분해하자.
:<math>\mathbb C^N = \bigoplus N_i\rho_i</math>
그렇다면, 이 경우 <math>\operatorname U(N)</math> 게이지 군은
:<math>\prod_i \operatorname U(N_i)</math>
로 깨지게 된다. (이 가운데 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않아, 이는 <math>\textstyle\prod_i\operatorname{SU}(N_i)</math>로 여겨도 무방하다.) [[하이퍼 초다중항]]의 경우, SU(2) [[R대칭]]의 '''2'''를 따라 변환하므로, 이들은 '''2'''에 대한 [[매케이 화살집]]의 변들에 해당하는 게이지 표현을 갖는다.

D5-막 대신 [[T-이중성]]을 가하여 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 같은 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원의 경우 이는 <math>\mathcal N=2</math> 초대칭에 해당한다.

마찬가지로, [[SU(3)]]의 유한 부분군 <math>\Gamma\le\operatorname{SU}(3)</math>가 주어졌을 때, <math>\mathbb R^4 \cong \mathbb C^3</math>의 [[오비폴드]]
:<math>\mathbb C^3/\Gamma</math>
를 생각할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 <math>N</math>개의 [[D3-막]]을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 <math>\Gamma</math>의 [[매케이 화살집]]에 해당하는 3+1차원 <math>\mathcal N=1</math> 화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론]]에서 [[R대칭]] SU(4) 가운데 SU(3)만큼을 부분군을 통하여 오비폴드를 가하는 것에 해당한다. (SU(4) 전체에 속하는 일반적 부분군을 사용하면, 아무 초대칭이 남지 못한다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 '''3'''⊕'''{{overline|3}}''' (SU(4)의 '''6''') 표현을 따르며, 페르미온들은 SU(3)의 '''3'''⊕'''1''' (SU(4)의 '''4''') 표현을 따른다. 즉, 이들은 해당 표현에 대한 [[매케이 화살집]]으로 묘사되는 게이지 표현을 따른다. 이 가운데 '''3'''(또는 '''{{overline|3}}''')에 해당하는 것은 4차원 <math>\mathcal N=1</math> 손지기 [[초다중항]]을 이루며, '''1'''에 해당하는 페르미온은 <math>\mathcal N=1</math> 벡터 초다중항의 일부이다.

== 예 ==
[[표준 모형]]의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기된다.
:<math> 1 \, \overset L\to \, \operatorname{SU}(2) \, \overset Q\to  \, \operatorname{SU}(3) \, \overset{ U^{\mathsf c}}{\underset{D^{\mathsf c}}\rightrightarrows} \, 1</math>
이로서, <math>\operatorname{SU}(2)</math> 및 <math>\operatorname{SU}(3)</math>에 대하여 [[게이지 변칙]]이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. (그러나 이는 U(1)을 표기하지 못한다.)

== 역사 ==
[[파일:Moose superior.jpg|thumb|right|수컷 [[말코손바닥사슴]]은 화려한 뿔을 가진다.]]
[[게이지 이론]]의 구조를 [[화살집 (수학)|화살집]]으로 나타내는 아이디어는 [[하워드 조자이]]가 1985년에 최초로 도입하였다.<ref>{{서적 인용|장=Composite models and GUTS (?) or fun with mooses|bibcode=1986grun.conf..349G|이름=Howard|성=Georgi|저자링크=하워드 조자이|날짜=1986|제목=Sixth workshop on grand unification. Proceedings of the conference held in April, 1985 at University of Minnesota, Minneapolis|editor1-first=Serge|editor1-last=Rudaz|editor2-first=Thomas F.|editor2-last=Walsh|출판사=World Scientific|쪽=349–359|언어=en}}</ref> 조자이는 이러한 [[화살집 (수학)|화살집]]을 “무스”({{llang|en|[[:wiktionary:ko:moose|moose]]}})라고 불렀는데, 이는 [[말코손바닥사슴]]을 뜻한다. 이는 [[화살집 (수학)|화살집]]의 모양을 수컷 [[말코손바닥사슴]]의 뿔에 빗댄 것이다.

마이클 더글러스({{llang|en|Michael R. Douglas}}, 1961~)와 [[그레고리 윈스럽 무어]]가 이러한 꼴의 이론이 [[끈 이론]]에서 자연스럽게 발생한다는 것을 1996년에 증명하였다.<ref name="DM">{{저널 인용|제목=D-branes, quivers, and ALE instantons|이름=Michael R.|성=Douglas|이름2=Gregory Winthrop|성2=Moore|저자링크2=그레고리 윈스럽 무어|arxiv=hep-th/9603167|bibcode=1996hep.th....3167D|날짜=1996|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[화살집 (수학)]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Quiver gauge theory and conformality at the TeV scale|이름=Paul H.|성=Frampton|이름2=Thomas W.|성2=Kephart|arxiv=0706.4259|doi=10.1016/j.physrep.2007.09.005|저널=Physics Reports|권=454|쪽=203–269|날짜=2008-01|bibcode=2008PhR...454..203F|언어=en|issn=0370-1573}}
* {{저널 인용|제목=From quiver diagrams to particle physics|이름=Angel M.|성=Uranga|arxiv=hep-th/0007173|bibcode=2000hep.th....7173U|날짜=2000|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=D-branes at singularities and string phenomenology|이름=Dmitry|성=Malyshev|공저자=Herman Verlinde|doi=10.1016/j.nuclphysbps.2007.06.009|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=171|쪽=139-163|날짜=2007-09|bibcode=2007NuPhS.171..139M|arxiv=0711.2451|언어=en|issn=0920-5632}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities|이름=Yang-Hui|성=He|arxiv=hep-th/0408142|bibcode=2004hep.th....8142H|날짜=2004|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Brane tilings for orientifolds|이름=Daniel|성=Krefl|arxiv=0804.0329|bibcode=2008ForPh..56..869K|doi=10.1002/prop.200810554|저널=Fortschritte der Physik|권=56|호=7-9|쪽=869-875|날짜=2008-08|언어=en|issn=0015-8208}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=quiver gauge theory|title=Quiver gauge theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]