화살집 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:FRL BRL Example.png|섬네일|오른쪽|화살집의 예]]
[[그래프 이론]]과 [[범주론]]에서 '''화살집'''({{llang|en|quiver|퀴버}})은 [[유향 그래프]]의 개념의 일반화이며, 유향 그래프와 [[다중 그래프]]를 합친 것으로 여길 수 있다.<ref>{{저널 인용 | url = http://www.ams.org/notices/200502/fea-weyman.pdf | title = Quiver representations | first1 = Harm | last1 = Derksen | first2 = Jerzy | last2 = Weyman | journal = Notices of the American Mathematical Society | volume = 52 | issue = 2 |날짜=2005-02 | 쪽=200–206| zbl= 1143.16300 | issn=0002-9920 | 언어=en }}</ref><ref>{{서적 인용 |last=Savage |first=Alistair |장=Finite-dimensional algebras and quivers |year=2006 |pages=313–322 |title=Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 2 |editor1-last=Françoise |editor1-first=Jean-Pierre |editor2-last=Naber |editor2-first=Gregory L. |editor3=Tsou Sheung Tsun  |publisher=Elsevier |arxiv=math/0505082 |bibcode=2005math......5082S | doi=10.1016/B0-12-512666-2/00418-1 |isbn=978-0-12-512666-3 | zbl=1170.00001 | 언어=en}}</ref> 즉, 모든 변은 방향을 가지며, 두 꼭짓점 사이에 임의의 수의 변이 존재할 수 있다.

== 정의 ==
=== 기초적 정의 ===
'''화살집''' <math>(V,E,s,t)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[집합]] <math>V</math>. 그 원소를 '''꼭짓점'''(-點)이라고 한다.
* 집합 <math>E</math>. 그 원소를 '''변'''(邊)이라고 한다.
* [[함수]] <math>s, t\colon E\to V</math>. 변 <math>e\in E</math>에 대하여, <math>s(e)</math>를 <math>e</math>의 '''시점'''(始點, {{llang|en|source, start}})이라고 하며, <math>t(e)</math>를 <math>e</math>의 '''종점'''(終點, {{llang|en|target}})이라고 한다.

두 화살집 <math>(V,E,s,t)</math>, <math>(V',E',s',t')</math> 사이의 '''사상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 함수 <math>f\colon V\to V'</math>
* 함수 <math>g\colon E\to E'</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>\forall e\in E\colon (f(s(e)), f(t(e))) = (s'(g(e)), t'(g(e)))</math>

=== 범주론적 정의 ===
다음과 같은 [[작은 범주]] <math>\mathcal Q</math>를 생각하자.
* <math>\mathcal Q</math>의 대상은 <math>E</math>와 <math>V</math> 두 개이다.
* <math>\mathcal Q</math>의 사상은 [[항등 사상]] 및 <math>\sigma, \tau\colon V\to E</math>이다.
그렇다면, '''화살집'''은 <Math>\mathcal Q</math> 위의 [[준층]]
:<math>F\colon \mathcal Q^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}</math>
이며, '''화살집 사상'''은 [[준층 사상]]([[자연 변환]])이다.

보다 일반적으로, <math>n\in\{0,1,\dotsc,\infty\}</math>에 대하여, 다음과 같은 작은 범주 <math>\mathcal G_n</math>를 생각할 수 있다.
* <math>\mathcal G_n</math>의 대상은 <math>(E_i)_{i<n} = (E_0,E_1,\dotsc)</math>이다.
* <math>\mathcal G_n</math>의 사상은 다음과 같은 사상들의 합성으로 주어진다.
*: <math>\sigma_n \colon E_n \to E_{n+1}</math>
*: <math>\tau_n \colon E_n \to E_{n+1}</math>
:즉, <math>|\hom_{\mathcal G_n}(E_a,E_b)|=2^{b-a}</math>이다 (<math>a\le b<n</math>).
* 이들은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
*: <math>\sigma\circ\sigma = \tau\circ \sigma</math>
*: <math>\sigma\circ\tau = \tau\circ \tau</math>

이 경우, <math>\mathcal G_n</math> 위의 [[준층]]은 '''<math>n</math>-초화살집'''({{llang|en|<math>n</math>-hyperquiver}})이라고 한다.

이 경우, 1-초화살집은 화살집이며, 0-초화살집은 [[집합]]이다.

== 연산 ==
모든 [[작은 범주]]는 ([[사상 (수학)|사상]] 합성과 [[항등 사상]]을 망각하면) 망각 함자를 통해 화살집을 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>에서 화살집의 범주 <math>\operatorname{Quiv}</math>로 가는 함자를 이룬다.
:<math>U\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{Quiv}</math>
이는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>U\colon\operatorname{Quiv}\to\operatorname{Cat}</math>
를 가지며, 이를 화살집으로 생성되는 '''자유 범주'''({{llang|en|free category generated by a quiver}})라고 한다. 구체적으로, 화살집 <math>Q=(V,E,s,t)</math>에 대응하는 자유 범주 <math>F(Q)</math>는 다음과 같다.
* <math>F(Q)</math>의 대상은 <math>Q</math>의 꼭짓점이다.
* <math>F(Q)</math>의 사상은 <math>Q</math>의 중복 가능 [[경로 (그래프 이론)|경로]], 즉 다음 조건을 만족시키는 변의 열 <math>e_1e_2\dotsb e_n</math>이다 (<math>0\le n <\infty</math>).
*: <math>t(e_i) = s(e_{i+1}) \qquad(1\le i<n)</math>
* 사상의 합성은 경로들의 연결이다.
* [[항등 사상]]은 길이 0의 경로이다.

== 성질 ==
화살집의 범주는 [[준층]] 범주이므로 [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다.

=== 표현 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 계수의, 화살집 <math>Q</math>의 '''표현'''(表現, {{llang|en|quiver representation}}) <math>R</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 꼭짓점 <math>i\in\mathsf V(Q)</math>에 대하여, <math>K</math> 계수의 [[벡터 공간]] <math>R(i)</math>
* 각 변 <math>e\colon i\to j</math>에 대하여, <math>K</math> 계수의 [[선형 변환]] <math>R(e) \colon R(i) \to R(j)</math>
자연스럽게 <math>K</math> 계수의 <math>Q</math>의 표현의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Rep}(Q)</math>를 정의할 수 있다. 이는 [[아벨 범주]]를 이룬다. 이는 사실 <math>Q</math> 위의 화살집 대수 <math>K[Q]</math>(<math>Q</math>로 생성되는 자유 범주의 [[범주 대수]]) 위의 [[왼쪽 가군]] 범주 <math>\operatorname{Mod}_{K[Q]}</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 역사 ==
‘화살집’({{llang|de|[[:wiktionary:ko:Köcher|Köcher]]|쾨허}})이라는 용어는 화살집이 여러 개의 “화살”(즉, 방향을 갖는 변)들을 포함하기 때문에 붙었으며, 피에르 가브리엘({{llang|fr|Pierre Gabriel}}, 1933~2015)이 1972년 논문<ref name="Gabriel">{{저널 인용|성=Gabriel|이름=Peter|제목=Unzerlegbare Darstellungen Ⅰ|저널=Manuscripta Mathematica|권=6 |날짜=1972|쪽= 71–103|doi=10.1007/BF01298413 | issn=0025-2611 |url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002216485 | 언어=de}}</ref>에서 도입하였다. 이 논문에서 가브리엘은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
{{lang|de|Für einen solchen 4-Tupel schlagen wir die Bezeichnung <u>Köcher</u> vor, und nicht etwa Graph, weil letzterem Wort schon zu viele verwandte Begriffe anhaften.}}<br>
이러한 4순서쌍에 대하여 ‘화살집’이라는 용어를 제안한다. 이는 예를 들어 ‘[[그래프]]’라는 용어는 이미 너무 많은 뜻을 갖기 때문이다.
|<ref name="Gabriel"/>{{rp|71, §1.1}}
}}

== 같이 보기 ==
* [[군환]]
* [[근접 대수]]
* [[화살집 게이지 이론]]
* [[원환 다양체]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Quiver}}
* {{eom|title=Tits quadratic form}}
* {{nlab|id=quiver|title=Quiver}}
* {{nlab|id=directed graph|title=Directed graph}}
* {{nlab|id=free category|title=Free category}}
* {{nlab|id=globe category|title=Globe category}}
* {{nlab|id=globular set|title=Globular set}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/77934/are-quivers-useful-outside-of-representation-theory | 제목=
Are quivers useful outside of representation theory? | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용|url = https://mathoverflow.net/questions/72876/why-did-gabriel-invent-the-term-quiver | 제목=Why did Gabriel invent the term “quiver”? | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용|url= https://math.stackexchange.com/questions/373578/why-are-representations-of-quivers-such-a-big-deal | 제목=Why are (representations of) quivers such a big deal? | 웹사이트=Stack Exchange | 언어=en}}

[[분류:그래프 이론]]
[[분류:범주론]]
[[분류:유향 그래프]]