홀함수와 짝함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Sintay SVG.svg|대체글=사인 함수와 그 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13차 테일러 다항식의 그래프|섬네일|[[사인 함수]]와 그 [[테일러 다항식]]들은 모두 홀함수이다. 그림은 사인 함수와 그 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13차 테일러 다항식의 그래프.]]
[[파일:Développement limité du cosinus.svg|대체글=코사인 함수와 그 4차 테일러 다항식|섬네일|[[코사인 함수]]와 그 테일러 다항식들은 모두 짝함수이다. 그림은 코사인 함수와 그 4차 테일러 다항식의 그래프.]]

[[수학]]에서 '''홀함수'''({{llang|en|odd function}}) 또는 '''기함수'''(奇函數)는 서로 [[덧셈 역원]]의 상이 서로 덧셈 역원인 [[실수]] [[함수]]이다. '''짝함수'''({{llang|en|even function}}) 또는 '''우함수'''(偶函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 같은 실수 함수이다. [[해석학 (수학)|해석학]]의 [[테일러 급수]]와 [[푸리에 급수]] 이론에서 중요하게 사용되는 개념이다. [[멱함수]]의 홀짝성이 그 지수의 홀짝성과 일치한다는 데에서 이름을 따왔다.

== 정의 ==
실수 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math>의 정의역 <math>D\subseteq\mathbb R</math>가 <math>-D=D</math>를 만족시키는 [[구간]]이라고 하자.
* 만약 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여 <math>f(-x)=-f(x)</math>라면, <math>f</math>를 '''홀함수'''라고 한다.
* 만약 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여 <math>f(-x)=f(x)</math>라면, <math>f</math>를 '''짝함수'''라고 한다.

== 성질 ==
홀함수이자 짝함수는 영함수밖에 없다. 이는 항상 <math>f(x)=(f(-x)+(-f(-x)))/2=0</math>이기 때문이다.

홀함수도 짝함수도 아닌 함수는 존재한다. 예를 들어, <math>f(x)=x+1</math>은 <math>f(-1)=0\ne\pm 2=\pm f(1)</math>이므로 홀함수도 짝함수도 아니다.

홀함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 [[동치]]이다.
:<math>xf(x^2)\qquad(f\colon D\to\mathbb R)</math>
짝함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다.
:<math>f(x^2)\qquad(f\colon D\to\mathbb R)</math>
함수는 항상 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 이는 다음과 같다.
:<math>f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2+\frac{f(x)-f(-x)}2</math>
짝함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>의 집합은 <math>\mathbb R</math>-[[대수 (환론)|대수]]를 이루며, 홀함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>의 집합은 <math>\mathbb R</math>-[[벡터 공간]]을 이룬다. 함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>의 공간은 이들의 [[직합]]이다.
:<math>\mathbb R^\mathbb R=\{f\in\mathbb R^\mathbb R\colon f(-x)=f(x)\}\oplus\{f\in\mathbb R^\mathbb R\colon f(-x)=-f(x)\}</math>

=== 연산에 대한 닫힘 ===
홀짝성이 주어진 함수의 사칙 연산의 홀짝성에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* 홀함수와 홀함수의 합·차는 홀함수이다.
* 짝함수와 짝함수의 합·차는 짝함수이다.
* 영이 아닌 홀함수와 영이 아닌 짝함수의 합·차는 홀함수도 짝함수도 아니다.
* 홀함수와 홀함수의 곱·몫은 짝함수이다.
* 홀함수와 짝함수의 곱·몫은 홀함수이다. 특히, 홀함수의 상수곱은 홀함수이다.
* 짝함수와 짝함수의 곱·몫은 짝함수이다. 특히, 짝함수의 상수곱은 짝함수이다.
[[미분 가능 함수]]의 경우, 다음 성질들이 성립한다.
* 홀함수의 [[미분]]은 짝함수이다.
* 짝함수의 미분은 홀함수이다.

=== 그래프 ===
어떤 함수가 짝함수의 필요 충분 조건은, [[함수의 그래프|그래프]]가 <math>y</math>축에 대하여 대칭인 것이다.

어떤 함수가 홀함수일 필요 충분 조건은, 그래프가 원점에 대하여 대칭인 것이다.

=== 적분 ===
홀함수 <math>f\colon[-a,a]\to\mathbb R</math>의 [[적분]]은 다음과 같다.
:<math>\int_{-a}^af(x)\mathrm dx=0</math>
짝함수 <math>f\colon[-a,a]\to\mathbb R</math>의 적분은 다음과 같다.
:<math>\int_{-a}^af(x)\mathrm dx=2\int_0^af(x)\mathrm dx</math>

=== 테일러 급수 ===
짝함수의 [[매클로린 급수]]는 차수가 짝수인 항으로만 구성된다. 홀함수의 테일러 급수는 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.

=== 푸리에 급수 ===
짝 [[주기 함수]]의 [[푸리에 급수]]는 [[삼각함수|코사인]] 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>f(x)=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos \frac{2n\pi }{T}x}</math>
홀 주기 함수의 푸리에 급수는 [[삼각함수|사인]] 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>f\left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \frac{2n\pi }{T}x}</math>

== 예 ==
[[파일:Function x^2.svg|대체글=함수 f(x) = x^2의 그래프|섬네일|함수 <math>f(x)=x^2</math>는 짝함수의 예이다.]]
[[파일:Function-x3.svg|대체글=함수 f(x) = x^3의 그래프|섬네일|함수 <math>f(x)=x^3</math>는 홀함수의 예이다.]]
[[파일:Function-x3plus1.svg|대체글=함수 f(x) = x^3 + 1의 그래프|섬네일|함수 <math>f(x)=x^3+1</math>는 홀함수도 아니고 짝함수도 아니다.]]

홀함수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
* ([[항등 함수]]) <math>x</math>
* (홀수차 멱함수) <math>x^3</math>
* ([[삼각 함수|사인]]) <math>\sin x</math>
* ([[쌍곡선 함수|쌍곡선 사인]]) <math>\sinh x</math>
* ([[오차 함수]]) <math>\operatorname{erf}x</math>
짝함수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
* ([[상수 함수]]) <math>c</math>
* (짝수차 멱함수) <math>x^2</math>
* ([[절댓값]]) <math>|x|</math>
* ([[코사인]]) <math>\cos x</math>
* ([[쌍곡선 코사인]]) <math>\cosh x</math>
* ([[가우스 곡선]]) <math>\exp(-x^2/2)</math>

== 같이 보기 ==
* [[테일러 급수]]
* [[푸리에 급수]]
* [[반전성]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Even function}}
* {{eom|title=Odd function}}
* {{매스월드|id=OddFunction|title=Odd function}}
* {{매스월드|id=EvenFunction|title=Even function}}
* {{플래닛매스|urlname=evenandoddfunctions|title=Even and odd functions}}

[[분류:미적분학]]
[[분류:함수의 종류]]
[[분류:홀짝성]]