홀수와 짝수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Parity_of_5_and_6_Cuisenaire_rods.png|섬네일|275x275픽셀]]
[[수론]]에서 '''짝수'''(-數, {{llang|en|even number}})는 [[2]]로 나누어 떨어지는 [[정수]]이다. '''홀수'''(-數, {{llang|en|odd number}})는 2로 나누어 떨어지지 않는 정수이다. 즉, 짝수는 2, 4, 6, 8, 10, ...과 같이 둘씩 세었을 때 남는 수가 없으며, 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, ...와 같이 둘씩 세었을 때 1이 남는다,

== 정의 ==
위에서 말했듯, '''홀수'''는 2의 배수가 아닌 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.
* 홀수는 <math>n=2k+1</math>인 <math>k\in\mathbb Z</math>가 존재하는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 홀수는 <math>n\equiv1\pmod2</math>를 만족시키는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 홀수는 <math>2\mathbb Z+1</math>의 원소이다.
마찬가지로, '''짝수'''는 2의 [[배수]]인 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.
* 짝수는 <math>n=2k</math>인 <math>k\in\mathbb Z</math>가 존재하는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 짝수는 <math>n\equiv0\pmod2</math>를 만족시키는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 짝수는 <math>2\mathbb Z</math>의 원소이다.
정수가 홀수인지 짝수인지에 대한 성질을 '''홀짝성'''(-性, {{llang|en|parity|패리티}})이라고 한다.

== 예 ==
49는 홀수이다. 49 = 2 × 24 + 1이기 때문이다. 128은 짝수이다. 128 = 2 × 64이기 때문이다. 비슷하게, 음수인 -49는 홀수이며, -128은 짝수이다. 0은 짝수이다.

양의 홀수 전체의 수열은 다음과 같다.
:1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... {{OEIS|A005408}}
음이 아닌 짝수 전체의 수열은 다음과 같다.
:0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... {{OEIS|A005843}}
홀수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z+1=\{2n+1\colon n\in\mathbb Z\}</math>
양의 홀수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z_{\ge0}+1=\{2n+1\colon n\in\mathbb Z_{\ge0}\}=2\mathbb Z_{>0}-1=\{2n-1\colon n\in\mathbb Z_{>0}\}</math>
짝수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z=\{2n\colon n\in\mathbb Z\}</math>
음이 아닌 짝수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z_{\ge0}=\{2n\colon n\in\mathbb Z_{\ge0}\}</math>

== 성질 ==
두 홀수나 두 짝수의 합은 항상 짝수이며, 홀수와 짝수의 합 및 짝수와 홀수의 합은 항상 홀수이다. 즉,
* 홀수 + 홀수 = 짝수
* 홀수 + 짝수 = 홀수
* 짝수 + 홀수 = 홀수
* 짝수 + 짝수 = 짝수
{{증명}}쉽게 해주겠다.

{{math|n, m}}이 정수일 때,

1. 두 홀수 {{math|2n+1, 2m+1}}에 대하여

{{math|(2n+1)+(2m+1)=2n+2m+2=2(n+m+1)}}

{{math|n+m+1}} 역시 정수이므로 {{math|2(n+m+1)}}은 짝수이다.

∴ 홀수 + 홀수 = 짝수

2. 홀수 {{math|2n+1}}, 짝수 {{math|2m}}에 대하여

{{math|(2n+1)+(2m)=2n+2m+1=2(n+m)+1}}

{{math|n+m}} 역시 정수이므로 {{math|2(n+m)+1}}은 홀수이다.

∴ 홀수 + 짝수 = 홀수

→ 덧셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수 + 홀수'역시 홀수이다.

3. 두 짝수 {{math|2n, 2m}}에 대하여

{{math|(2n)+(2m)=2(n+m)}}

{{math|n+m}} 역시 정수이므로 {{math|2(n+m)}}은 짝수이다.

∴ 짝수 + 짝수 = 짝수
{{증명 끝}}
두 홀수의 곱은 홀수, 두 짝수의 곱은 짝수, 홀수와 짝수의 곱 및 짝수와 홀수의 곱은 짝수이다. 즉,
* 홀수 × 홀수 = 홀수
* 홀수 × 짝수 = 짝수
* 짝수 × 홀수 = 짝수
* 짝수 × 짝수 = 짝수
{{증명}}
(증명) {{math|n, m}}이 정수일 때,

1. 두 홀수 {{math|2n+1, 2m+1}}에 대하여

{{math|(2n+1)×(2m+1)=4mn+2n+2m+1=2(2mn+n+m)+1}}

{{math|2mn+n+m}} 역시 정수이므로 {{math|2(2mn+n+m)+1}}은 홀수이다.

∴ 홀수 × 홀수 = 홀수

2. 홀수 {{math|2n+1}}, 짝수 {{math|2m}}에 대하여

{{math|(2n+1)×(2m)=2m(2n+1)=2(2mn+m)}}

{{math|2mn+m}} 역시 정수이므로 {{math|2(2mn+m)}}은 짝수이다.

∴ 홀수 × 짝수 = 짝수

→ 곱셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수×홀수'역시 짝수이다.

3. 두 짝수 {{math|2n, 2m}}에 대하여

{{math|(2n)×(2m)=4mn=2(2mn)}}

{{math|2mn}} 역시 정수이므로 {{math|2(2mn)}}은 짝수이다.

∴ 짝수 × 짝수 = 짝수
{{증명 끝}}

특히, 다음과 같은 성질들이 성립한다.
* 연속된 두 정수는 항상 하나는 짝수, 하나는 홀수이다.
* 연속된 두 정수의 합은 홀수이다.
* 연속된 두 정수의 곱은 짝수이다.
* 짝수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다. 또한, 짝수는 정수의 [[유사환]] [[아이디얼]]을 이루며, 그에 대한 [[몫환]]은 크기가 2인 [[체 (수학)|체]]를 이룬다.

어떤 정수가 홀수인지 짝수인지 다음과 같이 판정할 수 있다.
* 어떤 정수의 [[십진법]] 전개의 일의 자리 수가 짝수(0, 2, 4, 6, 8)라면, 그 정수는 짝수이다.
* 어떤 정수의 [[십진법]] 전개의 일의 자리 수가 홀수(1, 3, 5, 7, 9)라면, 그 정수는 홀수이다.
* 홀수의 [[약수]]는 항상 홀수이다.
* 짝수의 [[배수]]는 항상 짝수이다.
* 2를 제외한 [[소수 (수론)|소수]]는 항상 홀수이다.

== 응용 ==
숫자들의 묶음을 통신수단을 통해 전송할 때, 가장 원시적인 확인 방법은 수의 합이 홀수인지 짝수인지를 구별하는 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[홀함수와 짝함수]]
* [[홀치환과 짝치환]]
* [[0의 홀짝성]]

[[분류:홀짝성| ]]
[[분류:산수]]
[[분류:수학 개념]]