호지 쌍대 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''호지 쌍대'''(Hodge雙對, {{lang|en|Hodge dual}})는 [[미분 형식]]을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 [[별표]](<math>*</math>). '''호지 별표'''({{lang|en|Hodge star}})로도 부른다.

== 정의 ==
<math>(M,g)</math>가 <math>n</math>차원 [[유향 다양체|유향]] [[리만 다양체]] 또는 [[준 리만 다양체]]이고, <math>\alpha</math>가 그 위에 정의된 <math>k</math>차 [[미분 형식]]이라고 하자 (<math>0\le k\le n</math>). 그렇다면, 준 리만 계량의 [[음악 동형]]을 통하여, <math>k</math>차 미분 형식을 <math>(k,0)</math>차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다.
:<math>(-)^\# \colon \Omega^p(M) \to \Gamma\left(\bigwedge^k\mathrm TM\right)</math>
지표로 쓰면 이는 다음과 같다.
:<math>(\alpha^\#)^{i_1i_2\dotsb i_p} = g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_pj_p} \alpha_{j_1\dotso j_p}</math>
이제, <math>\alpha\in\Omega^p(M)</math>의 '''호지 쌍대'''는 다음과 같다.
:<math>\star\alpha = \alpha^\# \lrcorner \omega \in \Omega^{n-p}(M)</math>
여기서
* <math>\lrcorner</math>는 <math>(p,0)</math>차 완전 반대칭 텐서와 <math>n</math>차 미분 형식 사이의 [[내부곱]]이다.
* <math>\omega \in\Omega^n(M)</math>는 준 리만 계량 및 [[방향 (다양체)|방향]]으로 정의되는 [[부피 형식]]이다.
지표로 쓰면,
:<math>\omega_{i_1\dotso i_n} = \sqrt{|\det g|}\epsilon_{i_1\dotso i_n}</math>
이므로,
:<math>(\star\alpha)_{i_{p+1}\dotso i_n} = \frac1{p!}\sqrt{|\det g|}\epsilon_{i_1\dotso i_n} g^{i_1j_1} \dotsm g^{i_pj_p}\alpha_{j_1\dotso j_p}</math>
이다. 여기서 <math>\epsilon^{i_1,\dots,i_n}</math>은 <math>n</math>차원 [[레비치비타 기호]]이다.

=== 벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대 ===
보다 일반적으로, 유향 [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[벡터 값 미분 형식|<math>E</math>값의 <math>k</math>차 미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega^k(M;E)</math>에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다.
:<math>\alpha^\# \in \Gamma\left(\bigwedge^k \mathrm TM \otimes E\right)</math>
:<math>\star\alpha = \alpha^\# \lrcorner \omega \in \Omega^{n-p}(M;E)</math>
즉, 성분으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>(\star\alpha)^a_{i_{p+1}\dotso i_n} = \frac1{p!}\sqrt{|\det g|}\epsilon_{i_1\dotso i_n} g^{i_1j_1} \dotsm g^{i_pj_p}\alpha^a_{j_1\dotso j_p}</math>

== 성질 ==
=== 쌍대성 ===
<math>\alpha</math>가 <math>(n-q,q)</math>차원 [[준 리만 다양체]] 위에 정의된 <math>k</math>차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면
:<math>\star\star\alpha=(-1)^{k(n-k)+q}\alpha</math>
이다. 특히, 만약 <math>n</math>이 짝수라면, 이는 선형 변환
:<math>\star \colon \Omega^{n/2}(M) \to \Omega^{n/2}(M)</math>
을 정의한다. 만약 <math>\star\star = +1</math>인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 '''자기 쌍대 미분 형식'''({{llang|en|self-dual differential form}})
:<math>\alpha = \star \alpha</math>
과 '''자기 반쌍대 미분 형식'''({{llang|en|anti-self-dual differential form}})
:<math>\alpha = -\star \alpha</math>
으로 분해된다.
:<math>\alpha = \frac12(\alpha+\star\alpha) + \frac12(\alpha-\star\alpha)</math>
만약 <math>\star\star = -1</math>인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 [[실수 벡터 공간]]에 [[복소구조]]를 정의한다.

=== 내적 ===
이제, 다음과 같은 내적을 생각하자.
:<math>\langle \alpha,\beta\rangle = \int_M 
(\alpha^\# \lrcorner \beta)\omega
=\int_M \frac1{p!} g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_pj_p} \alpha_{i_1\dotsb i_q}\beta_{j_1\dotsb j_q}
\sqrt{|\det g|}\,\mathrm d^nx
</math>
이는 물론 수렴하지 않을 수 있다. 그러나 부분 공간
:<math>\left\{\alpha\in\Omega^p(M)
\colon\langle\alpha,\alpha\rangle < \infty \right\}</math>
위에서 이 연산은 잘 정의되며, 이에 대한 [[완비화]]를 취하면 이는 [[실수 힐베르트 공간]]을 이룬다. 이를 <math>H^p</math>로 표기하자. (<math>p=0</math>인 경우 이는 [[르베그 공간]] <math>\operatorname L^2(M)</math>과 같다.) 이에 대하여 마찬가지로 쐐기곱을
:<math>(\wedge)\colon H^p \otimes H^q \to H^{p+q}</math>
로 정의할 수 있다. 

그렇다면, 임의의 <math>\alpha\in H^p</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\forall \beta\in H^p\colon \beta\wedge\star\alpha=\langle\beta,\alpha\rangle_{H^p}\omega\in H^n</math>
즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 [[힐베르트 공간]]의 내적과 [[쐐기곱]] 사이의 변환이다.

=== 공미분 ===
미분 형식의 '''공미분'''({{lang|en|codifferential}}) <math>\delta</math>는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 <math>d</math>에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.
:<math>\langle\delta\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,\mathrm d\beta\rangle</math>.
따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. <math>\alpha</math>가 <math>k</math>차 형식이라면,
:<math>\delta\alpha=(-1)^k\star^{-1}\mathrm d\star\alpha</math>
이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 항등식 <math>\delta^2=0</math>을 만족시킨다.

미분 형식에 대한 [[라플라스-벨트라미 연산자]] <math>\Delta</math>는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\Delta=(d+\delta)^2=d\delta+\delta d</math>.

== 역사 ==
[[윌리엄 밸런스 더글러스 호지]]가 [[호지 이론]]의 일부로서 도입하였다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HodgeStar|title=Hodge star}}
* {{nlab|id=Hodge star operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 형식]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:쌍대성이론]]