호몰로지 거울 대칭 문서 원본 보기

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'''호몰로지 거울 대칭'''({{llang|en|Homological mirror symmetry}})은 [[거울 대칭 가설]]을 공식화하는 하나의 방법이다. [[막심 콘체비치]]가 제안하였다. 거울 대칭의 예시들이 많이 알려졌으나, 정확히 어느 범위에 해당하는 대상들이 어떤 방식으로 거울 대칭이란 성질을 가지는지 명료화 될 필요가 있다. 호몰로지 거울 대칭은 SYZ 추측과 함께 거울 대칭 가설의 주요 공식화 중 하나이다.

== 역사 ==
1994년 [[취리히]]에서 열린 [[세계 수학자 대회|국제 수학자 회의]]에서 {{하버드 인용 본문|Kontsevich|1994}} 한 쌍의 [[칼라비-야우 다양체]] <math> X</math>와 ''<math> Y</math>''에 대한 거울 대칭이 ''<math> X</math>''의 [[대수기하학|대수 기하학]]으로 구성된 [[삼각 분할 범주]]의 동치로 설명될 수 있다고 추측했다(''<math> X</math>''의 [[연접층]]의 유도 범주)와 ''<math> Y</math>''의 [[심플렉틱 기하학]]으로 구성된 또 다른 삼각 분할 범주(유도된 후카야 범주)이다.

[[에드워드 위튼]]은 원래 [[N=(2,2) supersymmetric field theory|N=(2,2) 초대칭 장 이론]]을 A 및 B 모델 [[위상 끈 이론]]이라고 부르는 위상학적 왜곡으로 설명했다. 이러한 모델은 리만 곡면에서 고정된 목표(보통 칼라비-야우 다양체)로의 사상과 관련된다. 거울 대칭에 대한 대부분의 수학적 예측은 ''<math> Y</math>''의 A-모델과 거울 ''<math> X</math>''의 B-모델의 물리적 동등성에 내재되어 있다. 리만 곡면에 빈 경계가 있으면 닫힌 끈의 세계면를 나타낸다. 열린 끈의 경우를 다루려면 초대칭을 보존하기 위한 경계 조건을 도입해야 한다. A-모델에서 이러한 경계 조건은 몇 가지 추가 구조(흔히 막 구조라고 함)가 있는 ''<math> Y</math>''의 [[심플렉틱 다양체|라그랑주 부분 다양체]] 형태로 나타난다. B-모델에서 경계 조건은 정칙(또는 대수) 벡터 다발이 있는 ''<math> X</math>''의 정칙 부분 다양체 또는 부분 대수 다형체 형태로 제공된다. 이들은 관련 범주를 구축하는 데 사용하는 대상이고 종종 각각 A막과 B막으로 불린다. 범주의 사상은 두 막 사이에 뻗어 있는 열린 끈의 질량 없는 스펙트럼에 의해 제공된다.

[[프린스턴 고등연구소]] 수학부는 2016년부터 호몰로지 거울 대칭에 1년을 바쳤다. 참가자 중에는 [[매사추세츠 공과대학교|MIT]]의 Paul Seidel, [[IHÉS]]의 [[막심 콘체비치]], [[캘리포니아 대학교 버클리]]의 Denis Auroux가 있었다.<ref>[https://www.math.ias.edu/sp/mirrorsymmetry IAS school of mathematics: Special Year on Homological Mirror Symmetry]</ref>

== 예 ==
수학자들은 몇 가지 예에서만 추측을 확인할 수 있었다. 콘세비치는 세미나 연설에서 [[세타 함수]]를 사용하여 [[타원곡선]]의 경우 추측이 증명될 수 있다고 언급했다. 이 경로를 따라 알렉산더 Polishchuk과 [[에릭 자슬로]]는 타원 곡선에 대한 추측 버전의 증거를 제공했다. [[후카야 켄지]]는 [[아벨 다양체|아벨 다형체]]에 대한 추측의 요소를 확립할 수 있었다. 나중에 콘세비치와 [[얀 소이벨만]]은 SYZ 추측의 아이디어를 사용하여 아핀 다양체 위에 있는 비특이 원환면 다발에 대한 대부분의 추측에 대한 증명을 했다. 2003년에 Paul Seidel은 [[사분면|사차 곡면]]의 경우에 대한 추측을 증명했다. 2002년에 {{하버드 인용 본문|Hausel|Thaddeus|2002}} 히친 계와 랑글랜즈 쌍대성의 맥락에서 SYZ 추측을 설명했다.

== 호지 다이아몬드 ==
''조화'' ''<math> (p,q)</math>''-미분 형식(동일하게 코호몰로지, 즉, 완전 형식을 법으로 닫힌 형식) 공간의 차원 ''<math> h^{p,q}</math>''는 일반적으로 ''호지 다이아몬드''라 불리는 다이아몬드 형태로 배열된다. 이러한 ''<math> (p,q)</math>''-베티 수는 [[프리드리히 히르체브루흐]]가 설명한 생성 함수를 사용하여 완전 교차에 대해 계산될 수 있다.<ref>{{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/q/606592|제목=Hodge diamond of complete intersections|웹사이트=math.stackexchange.com|확인날짜=2017-03-06}}</ref><ref>{{웹 인용|url=http://pbelmans.ncag.info/cohomology-tables/|제목=Cohomology tables for complete intersections|웹사이트=pbelmans.ncag.info|확인날짜=2017-03-06}}</ref><ref>{{웹 인용|url=http://www3.nd.edu/~lnicolae/hodgeint.pdf|제목=Hodge Numbers of Complete Intersections|성=Nicolaescu|이름=Liviu}}</ref> 예를 들어 3차원의 경우 호지 다이아몬드의 ''p'' 와 ''q'' 범위는 0에서 3까지이다.
[[파일:3차원 호지 다이아몬드.png|가운데|프레임|3차원 호지 다이아몬드]]
거울 대칭은 원래 다양체에 대한 ''<math> (p,q)</math>''차 미분 형식 ''<math> h^{p,q}</math>''의 차원을 원래 다양체의 거울 대칭 쌍을 이루는 다른 다양체에 대한 ''<math> h^{n-p,q}</math>''로 변환한다. 즉, 모든 칼라비-야우 다양체의 경우 호지 다이아몬드는 ''<math> \pi</math>''만큼 회전에 대하여 불변이며 거울 칼라비-야우 다양체의 호지 다이아몬드는 ''<math> \pi/2</math>''만큼 회전하여 관련된다.

1차원 칼라비-야우 다양체로 볼 수 있는 [[타원곡선|타원 곡선]]의 경우 호지 다이아몬드는 특히 간단하다. 다음 그림과 같다.
[[파일:타원 곡선의 호지 다이아몬드.png|78x78픽셀|가운데|타원 곡선의 호지 다이아몬드]]
2차원 칼라비-야우 다양체로 볼 수 있는 [[K3 곡면]]의 경우 [[베티 수|배티 수]]는 ''<math> \{1,0,22,0,1\}</math>''이므로 호지 다이아몬드는 다음 그림과 같다.
[[파일:K3 곡면의 호지 다이아몬드.png|165x165픽셀|가운데|K3 곡면의 호지 다이아몬드]]
일반적으로 [[칼라비-야우 다양체]]라고 불리는 3차원 사례에서는 아주 흥미로운 일이 발생한다. 때로는 대각선을 따라 서로 대칭인 호지 다이아몬드를 갖는 거울 쌍( ''<math> M</math>''과 ''<math> W</math>)'' 이 있다.

[[파일:3차원 거울 쌍에 대한 호지 다이아몬드의 예.png|섬네일|158x158px|가운데|''<math> M</math>의 호지'' 다이아몬드:]]

[[파일:3차원 거울 쌍에 대한 호지 다이아몬드의 예2.png|섬네일|가운데|159x159픽셀|''<math> W</math>의 호지'' 다이아몬드:]]
''<math> M</math>''과 ''<math> W</math>는'' 끈 이론의 A-모델과 B-모델에 해당한다. 거울 대칭은 호몰로지 차원뿐만 아니라 거울 쌍의 [[심플렉틱 기하학|심플렉틱 구조]]와 [[복소다양체|복소 구조]]도 대체한다. 이것이 호몰로지 거울 대칭의 기원이다.

1990~1991년에 {{괄호 없는 하버드 인용|Candelas|de la Ossa|Green|Parkes|1991}}은 열거 대수 기하학뿐만 아니라 넓은 범위에 영향을 미쳤고 {{하버드 인용 본문|Kontsevich|1994}}에게 동기 부여가 되었다. 본 논문의 2개의 오차 삼중체의 거울 쌍에는 다음과 같은 호지 다이아몬드가 있다.
[[파일:오차 삼중체 거울쌍의 호지 다이아몬드 예시.png|섬네일|650x650px|가운데]]

== 같이 보기 ==
* [[거울 대칭 가설]]
* [[위상 양자장론]]
* [[범주론]]
* [[플뢰어 호몰로지|플로어 호몰로지]]
* 후카야 범주
* [[유도 범주]]
* [[Quintic threefold]]

== 각주 ==
{{각주}}

* {{저널 인용|title=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory|journal=Nuclear Physics B|last1=Candelas|first1=Philip|last2=de la Ossa|first2=Xenia C.|date=1991|volume=359|issue=1|pages=21–74|bibcode=1991NuPhB.359...21C|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6|mr=1115626|last3=Green|first3=Paul S.|last4=Parkes|first4=Linda}}
* {{ArXiv 인용|last=Kontsevich|first=Maxim|title=Homological algebra of mirror symmetry|date=1994|eprint=alg-geom/9411018}}
* {{ArXiv 인용|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|author2-link=Yan Soibelman|title=Homological Mirror Symmetry and torus fibrations|date=2000|eprint=math.SG/0011041}}
* {{ArXiv 인용|last=Seidel|first=Paul|title=Homological mirror symmetry for the quartic surface|date=2003|eprint=math.SG/0310414}}
* {{저널 인용|title=Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system|journal=Inventiones Mathematicae|last1=Hausel|first1=Tamas|last2=Thaddeus|first2=Michael|date=2002|volume=153|issue=1|pages=197–229|arxiv=math.DG/0205236|bibcode=2003InMat.153..197H|doi=10.1007/s00222-003-0286-7|s2cid=11948225}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:쌍대성이론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:대칭]]
[[분류:추측]]