호몰로지 문서 원본 보기

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[[수학]](특히 [[대수적 위상수학]]과 [[추상대수학]])에서 '''호몰로지'''({{llang|en|homology}}, '동일한'이라는 뜻의 그리스어 ''homos''에서 나옴)는 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이나 [[군 (수학)|군]] 등의) 수학적 대상에 [[아벨 군]]이나 [[가군|모듈]]의 [[수열|열]]을 대응시키는 일반적인 과정이다. 이를 중심적으로 연구하는 대수의 분야를 [[호몰로지 대수학]]이라 한다.

위상 공간의 경우 호몰로지군은 [[호모토피 군]]에 비해 훨씬 계산하기 쉬우며, 따라서 공간을 분류하는 과정에서도 호몰로지를 사용하는 쪽이 대체로 편리하다.

== 호몰로지 군의 구성 ==
전체적인 과정은 다음과 같다. 먼저 대상 <math>X</math>에 대해, <math>X</math>에 대한 정보를 포함하는 [[사슬 복합체]]를 정의해야 한다. 사슬 복합체는 [[아벨 군]]이나 [[가군]]의 열 <math>A_0, A_1, A_2 \dots</math>과 그 사이의 연속한 두 사상을 합성하면 영이 되는 [[준동형]]들 <math> d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}</math>로 이루어진다. (즉, 모든 ''n''에 대해 <math> d_n \circ d_{n+1} = 0 </math>이다.) 즉, ''n''+1번째 사상의 [[상 (수학)|상]]이 ''n''번째 사상의 [[핵 (수학)|핵]]에 포함되어 있으며, '''<i>X</i>의 <i>n</i>번째 호몰로지 군 (혹은 가군)'''은 [[몫군]] (또는 몫가군)
:<math> H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}) </math>
로 정의한다.

사슬 복합체의 ''n''+1번째 사상의 상이 언제나 n번째 사상의 핵과 같은 경우, 이 사슬복합체는 '''[[완전열|완전]]'''(exact)하다고 말한다. 따라서 <math>X</math>의 호몰로지군은 <math>X</math>의 사슬 복합체가 얼마나 불완전한지를 측정하는 것이다.

== 예 ==
대표적인 예로서 [[대수적 위상수학]]의 [[단체 호몰로지]]를 들 수 있다. <math>X</math>가 [[단체 (수학)|단체]](simplex)이고 <math>A_n</math>가 <math>X</math>의 ''n''차원 유향(oriented)단체들을 생성원으로 갖는 자유 아벨 군이나 모듈일 때, 그들 사이의 사상은

:<math> (a[0], a[1], \dots, a[n]) </math>

을

:<math> \sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0], \dots, a[i-1], a[i+1], \dots, a[n]) </math>

로 보내며, ‘경계사상(boundary mappings)’이라 불린다.

만약 여기에서 모듈들의 바탕환(base ring)이 체(field)일 경우, ''n''번째 호몰로지는 바로 그 공간의 ''n''차원 구멍의 숫자를 말해준다.

이와 비슷하게, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대해 단체 호몰로지를 정의할 수 있다. 먼저 <math>A_n</math>을 ''n''차원 단체로부터 <math>X</math>로 가는 모든 [[연속함수]]들의 [[자유 아벨 군]] (혹은 자유 모듈)로 놓으면, 그들 사이의 준동형 <math>d_n</math>은 단체들 사이의 경계사상으로부터 나온다.

== 같이 보기 ==
* [[호몰로지 대수학]]
* [[사슬 복합체]]
* [[특이 호몰로지]]
* [[코호몰로지]]

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론| ]]