호모토피 원리 문서 원본 보기

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[[편미분 방정식]] 이론에서, '''호모토피 원리'''(homotopy原理, {{llang|en|homotopy principle|호모토피 프린시플}}, {{lang|en|''h''-principle|에이치 프린시플}})는 특별한 [[편미분 방정식]]의 경우, 그 해의 존재 등의 성질이 [[호모토피 이론]]으로 결정된다는 성질이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 올다발]]
:<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>
가 주어졌다고 하자. 이제, 그 <math>k</math>차 [[제트 다발]]
:<math>\operatorname J^k(E)\twoheadrightarrow M</math>
및 ([[단사 함수]]인) 제트 연장
:<math>\operatorname j^k\colon\operatorname\Gamma^\infty(M,E)\to\operatorname\Gamma^\infty(M,\operatorname J^k(E))</math>
을 생각하자.

<math>E</math>의 단면에 대한 <math>k</math>차 [[편미분 방정식]]은 제트 다발 <Math>\operatorname J^k(E)</math>의 매끄러운 부분 다양체
:<math>P\hookrightarrow\mathrm J^k(E)</math>
이며, 그 해의 공간은
:<math>\operatorname{Sol}(P)=\{s\in\operatorname\Gamma^\infty(M,E)\colon \operatorname{im}(\operatorname j^k(s))\subseteq P\}</math>
이다.

[[편미분 방정식]] <math>P</math>의 '''비홀로노믹 해'''(非holonomic解, {{llang|en|nonholonomic solution}})의 공간은
:<math>\operatorname{nhSol}^k(P) = \{s\in\operatorname\Gamma^\infty(M,\operatorname J^k(E))\colon \operatorname{im}s\in P\}</math>
이다. 그렇다면, 제트 다발에 의하여 [[단사 함수]]
:<math>\operatorname j^k \colon \operatorname{Sol}(P)\hookrightarrow\operatorname{nhSol}^k(P)</math>
가 주어진다. (비홀로노믹 해와 구별하기 위하여, <math>P</math>의 참된 해는 “홀로노믹 해”라고 한다.)

만약 다음 조건이 성립한다면, <math>P</math>가 '''호모토피 원리'''를 만족시킨다고 한다.
:모든 비홀로노믹 해의 공간은 (홀로노믹) 해의 공간과 [[호모토피 동치]]이다. 즉, <math>\operatorname{nhSol}^k(P)</math>의 모든 [[경로 연결 성분]]이 <math>\operatorname{Sol}(P)</math>의 원소를 하나 이상 포함한다.

== 성질 ==
[[매끄러운 올다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>의 <math>k</math>차 [[편미분 방정식]]
:<math>P\subseteq\operatorname J^k(E)</math>
가 호모토피 원리를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, <math>P</math>의 해가 존재할 [[필요 충분 조건]]은 <math>\operatorname{nhSol}^k(P)</math>가 [[공집합]]이 아닌지 여부이다. 이는 보통 <math>P</math>의 해를 찾는 것보다 더 쉬우며, 보통 [[호모토피 이론]]에만 의존한다.

== 예 ==
두 매끄러운 다양체 <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여, [[몰입 (수학)|몰입]]
:<math>M\twoheadrightarrow N</math>
의 존재는 일종의 1차 [[편미분 방정식]]
:<math>
\operatorname\Gamma^\infty(M,P) = \{
\operatorname{rk}(\mathrm Df) = \dim M
\} \subseteq\operatorname\Gamma^\infty(N,\operatorname J^1(M,N))
</math>
이다. 이는 호모토피 원리를 만족시키며, 따라서 몰입의 존재 및 몰입의 [[호모토피류]]들의 분류는 호모토피 이론만으로 결정된다.

== 역사 ==
[[스티븐 스메일]]이 원래 몰입에 대한 호모토피 원리를 증명하였으나, 그는 “호모토피 원리”라는 개념이나 용어를 사용하지 않았다. 스메일은 이를 바탕으로, 2차원 구의 3차원 [[유클리드 공간]]으로의 몰입의 [[호모토피류]]가 하나 밖에 없음을 계산하였다.

이후, 야코프 마트베예비치 엘리아시베르크({{llang|ru|Яков Матвеевич Элиашберг}}, 1946~)와 [[미하일 그로모프]], 앤서니 필립스({{llang|en|Anthony V. Phillips}}, 1938~)가 스메일의 업적을 일반화하여 호모토피 이론의 이론을 제창하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Introduction to the ''h''-principle | 이름=Y. | 성=Eliashberg | 이름2=Nikolai M. | 성2=Mishachev | 날짜=2002 | 출판사=American Mathematical Society | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:호모토피 이론]]