호모토피 동치 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Homotopie-lettres.jpg|섬네일|알파벳 A, B, C를 "굵은 글꼴"로 써 평면의 2차원 부분 공간으로 나타낼 수 있으며 (보라색), "가는 글꼴"로 써 평면의 1차원 부분 공간으로 나타낼 수 있다 (붉은색). 이 경우, "굵은 글꼴"로 쓴 글자는 "가는 글꼴"로 쓴 글자와 [[위상 동형]]이지 않지만, 이들은 서로 호모토피 동치이다.]]
[[대수적 위상수학]]에서 '''호모토피 동치'''(homotopy同値, {{llang|en|homotopy equivalence}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 분류의 하나이다. 이는 [[위상 동형]]보다 더 거칠며, [[호모토피 군]]이나 [[특이 호몰로지]]와 같은 불변량을 보존하지만 [[하우스도르프 차원|차원]]과 같은 성질은 보존하지 않는다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다면, <math>f</math>를 '''호모토피 동치'''라고 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|363}}
* <math>f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y</math>
*<math>g\circ f\simeq\operatorname{id}_X</math>
여기서 <math>\simeq</math>는 같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 두 [[연속 함수]]의 [[호모토픽]] 관계이다.

=== 약한 호모토피 동치 ===
위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''약한 호모토피 동치'''(弱-homotopy同値, {{llang|en|weak homotopy equivalence}})라고 한다.
* <math>f</math>로부터 유도되는 [[연결 성분]]의 함수 <math>f_*\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y)</math>는 [[전단사 함수]]이다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 모든 <math>n\ge1</math>에 대하여, <math>f</math>로부터 유도되는 [[호모토피 군]]의 [[군 준동형]] <math>f_*\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x))</math>는 모두 군의 동형이다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[항등 함수]] ⊊ [[위상 동형]] ⊊ 호모토피 동치 ⊊ 약한 호모토피 동치 ⊊ [[연속 함수]]

호모토피 동치에 대하여 다음이 성립한다.
* 모든 [[위상 동형]]은 항상 호모토피 동치이다.
* (합성에 대한 닫힘) 두 호모토피 동치 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>의 [[함수의 합성|합성]] <math>g\circ f</math> 역시 호모토피 동치이다.
* 호모토피 동치 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>g\circ f\simeq\operatorname{id}_X</math>이자 <math>f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y</math>인 호모토피 동치 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다.
따라서, 두 위상 공간 사이에 호모토피 동치가 존재하는지 여부는 [[위상 동형]] 관계보다 더 엉성한 [[동치 관계]]를 이룬다. 호모토피 동치 관계에 대한 동치류를 '''호모토피 유형'''(homotopy類型, {{llang|en|homotopy type}})이라고 한다. 서로 [[위상 동형]]인 두 위상 공간은 서로 호모토피 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

약한 호모토피 동치에 대하여 다음이 성립한다.
* 모든 호모토피 동치는 항상 약한 호모토피 동치이다.
* (3개 가운데 2개 성질 {{llang|en|two out of three property}}) 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math> 가 주어졌으며, <math>\{f,g,g\circ f\}</math> 가운데 2개가 약한 호모토피 동치를 이룬다면, 3개 모두 약한 호모토피 동치를 이룬다. (특히, 약한 호모토피 동치는 [[함수의 합성]]에 대하여 닫혀 있다.)
* (6개 가운데 2개 성질 {{llang|en|two out of six property}}) 세 연속 함수 <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow hW</math>가 주여졌으며, 만약 <math>g\circ f</math> 및 <math>h\circ g</math>가 약한 호모토피 동치라면, <math>f</math>와 <math>g</math>와 <math>h</math>와 <math>h\circ g\circ f</math> 역시 약한 호모토피 동치이다.
약한 호모토피 동치의 존재는 [[반사 관계]]이자 [[추이적 관계]]이지만, [[대칭 관계]]가 아니므로 [[동치 관계]]가 아니다. 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간 사이에는 항상 약한 호모토피 동치가 존재하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

=== 화이트헤드 정리 ===
{{본문|화이트헤드 정리}}
'''[[화이트헤드 정리]]'''에 따르면 두 [[연결 공간|연결]] [[CW 복합체]] 사이에 만약 약한 호모토피 동치가 존재한다면, 이들 사이에는 호모토피 동치가 존재한다. 즉, CW 복합체의 경우 호모토피 유형을 약한 호모토피 동치로서 계산할 수 있다.

보다 일반적으로 [[모형 범주]]에서 존재하는 약한 동치는 약한 호모토피 동치의 일반화이며, 모형 범주에서의 '''화이트헤드 정리'''에 따르면 서로 올대상이자 쌍대올대상인 대상 사이에는 약한 동치의 존재는 [[동치 관계]]를 이룬다. (위상 공간 위의 퀼런 모형 구조에서 CW 복합체는 올대상이자 쌍대올대상이다.)

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}
* {{서적 인용 |last= May |first=J. Peter|title=A concise course in algebraic topology |날짜=1999-09 |publisher=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|위치= Chicago |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|언어=en|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-02-2651-183-2}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homotopy type}}
* {{매스월드|id=HomotopyEquivalence|title=Homotopy equivalence}}
* {{매스월드|id=HomotopyType|title=Homotopy type}}
* {{nlab|id=homotopy type|title=Homotopy type}}
* {{nlab|id=homotopy equivalence|title=Homotopy equivalence}}
* {{nlab|id=weak homotopy equivalence|title=Weak homotopy equivalence}}
* {{nlab|id=Whitehead theorem}}
* {{nlab|id=m-cofibrant space}}
* {{nlab|id=two-out-of-three|title=Two-out-of-three}}
* {{nlab|id=two-out-of-six property|title=Two-out-of-six property}}

[[분류:호모토피 이론]]