호모토피 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''호모토피 군'''(homotopy群, {{llang|en|homotopy group}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 [[호모토피 동치]] 불변 성질을 나타낸다. [[기본군]]의 고차 일반화이다. 기호는 <math>\pi_n(X)</math>.

== 배경 ==

[[파일:P1S2all.jpg|섬네일|구면 <math>\mathbb S^2</math> 위의 폐곡선은 항상 점으로 축약시킬 수 있다.]]

== 정의 ==
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, <math>[X,Y]</math>는 <math>X\to Y</math> [[연속 함수]]들의 [[호모토피류]]들의 집합이다. 마찬가지로, [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>, <math>(Y,\bullet_Y)</math>에 대하여, <math>[X,Y]_\bullet</math>는 점을 보존하는 <math>X\to Y</math> 연속 함수들의 [[호모토피류]]들의 집합이다.

임의의 [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>의 '''<math>n</math>차 호모토피 군'''({{llang|en|<math>n</math>th homotopy group of <math>X</math>}}) <math>\pi_n(X,\bullet_X)</math>은 다음과 같다.
:<math>\pi_n(X,\bullet_X)=[\mathbb S^n,X]_\bullet</math>
여기서 <math>\mathbb S^n</math>은 (임의로 밑점을 준) <math>n</math>차원 [[초구]]이다.

[[파일:Homotopy group addition.svg|섬네일|1차 호모토피 군([[기본군]])의 연산.]]

<math>n \ge 1</math>일 경우 군 안에서의 연산은 다음과 같이 정의한다. 먼저 초구 <math>\mathbb S^n</math>을 [[하이퍼큐브]] <math>[0,1]^n</math>의 경계를 한 점으로 [[몫공간|이어붙인 공간]]으로 본다.

:<math>\mathbb S^n\cong[0,1]^n/\partial([0,1]^n)</math>
:<math>\bullet_{\mathbb S^n}=\partial([0,1]^n)</math>
그렇다면 호모토피 군에 속하는 두 연속 함수 <math>f,g \colon \mathbb S^n\to X</math>는 [[하이퍼큐브]]를 정의역으로 하는 함수들의 호모토피류 <math>\tilde f,\tilde g\colon{[0,1]}^n\to X</math>로 나타낼 수 있다. 호모토피 군에서의 연산은 다음과 같은 연산으로부터 정의할 수 있다.
:<math>\tilde f \cdot \tilde g\colon(t_1,t_2,\dots,t_n)\mapsto\begin{cases}
f(2t_1,t_2,\dots,t_n)&0\le t_1\le1/2\\
g(2t_1-1,t_2,\dots,t_n)&1/2\le t_1\le1.
\end{cases}
</math>
이 연산은 [[호모토피]] 불변이며, 또한 [[군 (수학)|군]]의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.

정수 계수의 1차 호모토피 군을 특별히 ‘[[기본군]]’이라고 부른다.

=== 계수가 있는 호모토피 ===
[[아벨 군]] <math>G</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
[[피터슨 공간]] <math>P(G,n)</math>은 n차원에서만 유일하게 [[축소 코호몰로지]] G를 갖는 위상 공간이다.<ref name="Neisendorfer"/>{{rp|Definition 3.1}}
:<math>\operatorname{\tilde H}^k(P(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\0&k\ne0\end{cases}</math>

<math>M(G,n)</math>에 임의로 밑점을 잡았을 때, '''<math>G</math> 계수의 <math>n</math>차 호모토피 군'''({{llang|en|<math>n</math>th homotopy group of <math>X</math> with coefficients in <math>G</math>}}) <math>\pi_n(X,\bullet_X;G)</math>는 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|제목=The K-book: an introduction to algebraic K-theory|이름=Charles A.|성=Weibel|isbn=978-0-8218-9132-2|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, Rhode Island|날짜=2013-05-18|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=145|url=https://math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html|언어=en|zbl=1273.19001 }}</ref>{{rp|Definition IV.2.1}}<ref name="Neisendorfer"/>{{rp|Theorem 3.2}}
:<math>\pi_n(X,\bullet_X;G)=[P(G,n),X]_\bullet</math>
<math>n\ge1</math>일 경우 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>은 피터슨 공간 <math>P(\mathbb Z,n)</math>이므로, <math>\pi_n(X)=\pi_n(X;\mathbb Z)</math>이다. 따라서 이 정의는 위의 정의의 일반화라고 할 수 있다.

== 성질 ==

* 호모토피 군은 호모토피 불변량이다. 즉, 같은 [[호모토피 유형]]을 가진 두 [[점을 가진 공간]]의 호모토피 군은 서로 동형이다.
* 호모토피 군 <math>\pi_k(X,b)</math>은 일반적으로 원점 <math>b</math>에 의존하나, 만약 <math>k=0</math>이거나 공간이 [[경로 연결 공간]]이라면 원점에 의존하지 않는다.
* 0차 호모토피 ‘군’ <math>\pi_0(X,b)</math>은 <math>X</math>의 [[경로 연결 성분]]들의 집합과 같고 일반적으로 군의 구조가 없다. 다만 만약 <math>X</math>가 [[리 군]]의 구조를 갖는다면, <math>\pi_0(X)</math>는 자연스럽게 군의 구조를 갖는다.
* 2차 이상의 정수 계수 호모토피 군은 항상 [[아벨 군]]이다.
* [[유한 생성 아벨 군]] <math>G</math> 및 <math>n\ge3</math>에 대하여, 피터슨 공간 <math>P(G,n)</math>은 [[쌍대 H-군]]을 이루므로, 계수를 가진 호모토피 군 <math>\pi_n(X,\bullet_X;G)</math>은 자연스럽게 군의 구조를 가진다. 만약 추가로 <math>n\ge4</math>라면 이는 [[아벨 군]]을 이룬다.<ref name="Neisendorfer">{{저널 인용|url=http://www.math.rochester.edu/people/faculty/jnei/homgrpswithcoeff.pdf|제목=Homotopy groups with coefficients|이름=Joseph A.|성=Neisendorfer|zbl=1205.55001|저널=Journal of Fixed Point Theory and Applications|권=8|호=2|쪽=247–338|doi=10.1007/s11784-010-0020-1|issn=1661-7738|날짜=2010-12|언어=en}}</ref>{{rp|§3}}

=== 곱공간과 쐐기합 ===
위상 공간 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 주어지면, 다음이 성립한다.
:<math>\pi_k(X\times Y)=\pi_k(X)\times\pi_k(Y)</math>

[[특이 호몰로지]]는 [[쐐기합]]과 같은 [[당김 (범주론)|당김]]에 대하여 간단하지만, [[밂 (범주론)|밂]]에 대해서는 복잡하다. 반면 호모토피 군은 밂에 대하여 간단하지만 당김에 대하여 복잡하다. 특히, 공간들의 [[쐐기합]]의 호모토피 군은 일반적으로 복잡하다. 다만, [[기본군]]의 경우, 쐐기합의 기본군은 군의 [[자유곱]]이다. [[초구]]의 [[쐐기합]]의 기본군은 '''힐튼 정리'''({{llang|en|Hilton’s theorem}})에 의하여 주어진다.<ref>{{저널 인용 | last=Hilton | first=Peter John | title=On the homotopy groups of the union of spheres | doi=10.1112/jlms/s1-30.2.154  | mr=0068218 | year=1955 | journal=Journal of the London Mathematical Society | issn=0024-6107 | volume=30 | issue=2 | pages=154–172|언어=en}}</ref>

보다 일반적으로, [[존 밀너]]는 힐튼 정리를 다음과 같이 '''힐튼-밀너 정리'''({{llang|en|Hilton–Milnor theorem}})로 일반화하였다.<ref>{{서적 인용 | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=존 밀너 | editor1-last=Adams | editor1-first=John Frank | title=Algebraic topology—a student’s guide | url=https://archive.org/details/algebraictopolog0000adam | origyear=1956 | 출판사=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-08076-7  | doi=10.1017/CBO9780511662584.011  | mr=0445484 | year=1972 | chapter=On the construction <math>FK</math> | pages=[https://archive.org/details/algebraictopolog0000adam/page/n125 118]–136 | 언더=en}}</ref> 이에 따르면, 연결 [[CW 복합체]] <math>X_1,\dots,X_n</math>이 주어졌을 때, 그 [[쐐기합]] <math>\textstyle\bigvee_{i=1}^nX_n</math>의 [[현수 (위상수학)|현수]] <math>\textstyle\operatorname S(\bigvee_{i=1}^nX_n)</math>의 [[고리 공간]]
:<math>L\left(\operatorname S(\bigvee_{i=1}^nX_n)\right)</math>
은 <math>X_i</math>들의 [[분쇄곱]]의 [[고리 공간]]들의 특정한 무한 [[곱공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.

=== 리 군 ===
[[연결 공간|연결]] [[매끄러운 다양체]] <math>G</math>에 [[리 군]]의 구조를 줄 수 있다면, 그 호모토피 군은 항상 다음과 같은 성질을 보인다.
* <math>\pi_1(G)</math>는 [[유한 생성 아벨 군]]이다.
* <math>\pi_2(G)=0</math>
* <math>\pi_3(G)</math>는 [[유한 생성 아벨 군|유한 생성]] [[자유 아벨 군]]이다.
또한, <math>G</math>의 짝수 차수 호모토피 군은 모두 [[꼬임 부분군|꼬임 성분]]밖에 없다. (즉, 짝수 차수 [[유리수]] 계수 호모토피 군은 0차원이다.) 이는 [[유리수 호모토피 이론]]을 사용하여 보일 수 있다.

[[리 군]] <math>G</math>의 극대 콤팩트 부분군 <math>K\le G</math>가 주어졌을 때, <math>G</math>는 <math>K</math>로의 [[변형 수축]]을 가지며 ([[이와사와 겐키치]] 증명), 따라서 서로 [[호모토피 동치]]이다. (리 군은 여러 개의 극대 콤팩트 부분군을 가질 수 있지만, 이들은 모두 서로 [[호모토피 동치]]이다.) 따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 콤팩트 리 군의 경우로 귀결된다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]에 대하여, 이와 [[유리수 호모토피 이론|유리수 호모토피 동치]]인 [[초구]]들의 [[곱공간]]이 존재한다. 즉, 계수 <math>r</math>의 콤팩트 리 군 <math>G</math>에 대하여, 어떤 [[연속 함수]]
:<math>f\colon \prod_{i=1}^n\mathbb S^{n_i}\to G</math>
가 존재하여, <math>f</math>는 유리수 계수 호모토피 군의 동형을 유도한다.
:<math>\pi_k\left(\prod_{i=1}^n\mathbb S^{n_i};\mathbb Q\right)\cong\pi_k(G;\mathbb Q)</math>
따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 [[초구]]의 호모토피 군의 계산으로 귀결된다. 후자는 일반적으로 매우 어렵다.

=== 후레비치 준동형 ===
{{본문|후레비치 준동형}}
호모토피 군은 [[특이 호몰로지]] <math>\operatorname H_n</math>과 관련이 있다. '''후레비치 정리'''({{llang|en|Hurewicz theorem}})에 의하여, '''[[후레비치 준동형]]'''({{llang|en|Hurewicz homomorphism}})이라는 자연스러운 [[함수]]
:<math>h_n\colon\pi_n(X)\to\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>
가 존재하며, <math>n\ge1</math>일 경우 이는 [[군 준동형]]을 이룬다.
후레비치 준동형은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\pi_n(-)\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>\operatorname H_n(-;\mathbb Z)\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Ab}</math>
사이의 [[자연 변환]]
:<math>h_n\colon\pi_n\Rightarrow\operatorname H_n(-;\mathbb Z)</math>
을 이룬다. (만약 <math>n=0</math>일 경우, 함자의 [[공역]]을 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> 대신 [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 놓아야 한다.) 따라서 [[축소 현수]] <math>\Sigma</math>에 대하여
::<math>\begin{matrix}\pi_n(X)&\xrightarrow h&\operatorname H_n(X; \mathbb Z)\\
{\scriptstyle \Sigma}\downarrow& &\downarrow\scriptstyle \Sigma\\
\pi_{n+1}(\Sigma X)&\xrightarrow[h]{}&\operatorname H_{n+1}(\Sigma X; \mathbb Z)
\end{matrix}</math>
가 가환한다.

=== 호모토피 긴 완전열 ===
[[세르 올뭉치]] <math>F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B</math>에서, 밑점 <math>\bullet\in B</math>을 고르자. 또한, <math>B</math>가 [[경로 연결 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 호모토피 군들에 대한 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>\cdots\to\pi_n(F)\to\pi_n(E)\to\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)\to\cdots\to\pi_0(E)\to0</math>
여기서 <math>\pi_0</math>에 대한 사상들은 [[군 준동형]]이 아니라 단순히 [[함수]]이지만, 이는 여전히 완전열을 이룬다 (즉, [[상 (수학)|상]]이 [[핵 (수학)|핵]]과 일치한다).

=== 화이트헤드 괄호 ===
[[경로 연결 공간]] <math>X</math>의 호모토피 군들 위에는 '''화이트헤드 괄호'''({{llang|en|Whitehead bracket}})라는 다음과 같은 연산이 존재한다.<ref name="Whitehead">{{저널 인용
|first=J. H. C.
|last=Whitehead
|authorlink=존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드
|title=On adding relations to homotopy groups
|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1941-04_42_2/page/n78
|journal=Annals of Mathematics
|series=2
|volume=42
|issue=2
|date=1941-04
|pages=409–428
|doi=10.2307/1968907
|jstor=1968907|언어=en}}</ref>
:<math>[-,-]\colon \pi_k(X)\times\pi_l(X)\to \pi_{k+l-l}(X)</math>
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 [[연속 함수]]
:<math>f\colon\mathbb S^k\to X</math>
:<math>g\colon\mathbb S^l\to X</math>
가 주어졌다고 하자. [[초구]]의 [[곱공간]] <math>\mathbb S^k\times\mathbb S^l</math>은 [[쐐기합]] <math>\mathbb S^k\wedge\mathbb S^l</math>에 <math>(k+l)</math>-[[CW 복합체|세포]]룰 [[붙임 공간|붙여]] 얻을 수 있다. 이 붙임 사상을
:<math>\gamma\colon \mathbb S^{k+l-1}\to\mathbb S^k\vee\mathbb S^l</math>
라고 하자. 만약 <math>k,l\ge1</math>이라면 <math>\gamma</math>는 밑점을 보존하게 잡을 수 있다. 이를 <math>f</math>와 <math>g</math>의 [[쐐기합]]
:<math>f\vee g\colon\mathbb S^k\vee\mathbb S^l\to X</math>
과 [[함수의 합성|합성]]하여
:<math>(f\vee g)\circ\gamma\colon \mathbb S^{k+l-1}\to X</math>
를 정의할 수 있다.

그렇다면, <math>[f]\in\pi_k(X)</math>와 <math>[g]\in\pi_l(X)</math>의 화이트헤드 괄호는 다음과 같다.
:<math>\left[[f],[g]\right]=[(f\vee g)\circ\gamma]\in\pi_{k+l-1}(X)</math>
(<math>\pi_0(X)</math>의 경우, 경로 연결 공간을 가정하였으므로 자명하게 0으로 놓는다.)

화이트헤드 괄호는 반대칭이며, <math>\mathbb Z</math>-쌍선형이며, [[야코비 항등식]]을 만족시킨다.<ref>{{서적 인용|mr=0091473
|last=Uehara|first= Hiroshi|last2= Massey|first2= William S.
|chapter=The Jacobi identity for Whitehead products|title= Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz|pages=361&ndash;377|publisher= Princeton University Press|날짜= 1957|언어=en}}</ref> 그러나 화이트헤드 괄호는 일반적으로 교대 연산이 아니므로 (즉, <math>[f,f]\ne0</math>일 수 있다) 정수환 위의 [[리 대수]]를 이루지 않는다. 다만, [[꼬임 부분군]]에 대하여 몫을 취하면 이는 [[정수환]] 위의 [[등급 리 대수]]를 이룬다. 이때, <math>\pi_k(X)</math>의 등급을 <math>k-1</math>로 잡아야 한다.

=== 기본군의 작용 ===
[[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>의 [[기본군]] <math>\pi_1(X,\bullet_X)</math>은 고차 호모토피 군 <math>\pi_n(X,\bullet_X)</math> (<math>n\ge1</math>) 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]하며, 따라서 고차 호모토피 군은 [[기본군]]의 [[군의 가군|가군]]을 이룬다.

구체적으로, <math>X</math> 속의 두 점 <math>\bullet_0,\bullet_1\in X</math> 및 이를 잇는 곡선
:<math>\gamma\colon[0,1]\to X</math>
:<math>\gamma(0)=\bullet_0</math>
:<math>\gamma(1)=\bullet_1</math>
이 주어졌다고 하자. 구의 밑점의 포함 함수 <math>\{\bullet\}\hookrightarrow\mathbb S^n</math>는 닫힌 [[상 (수학)|상]]을 가진 포함 함수이므로 공변올뭉치({{llang|en|cofibration}})를 이룬다. 즉, 호모토피 확대 성질을 만족시킨다. 따라서, <math>\{\bullet_0\}\hookrightarrow X</math>와 <math>\{\bullet_1\}\hookrightarrow X</math> 사이의 [[호모토피]] <math>\gamma\colon[0,1]\to X</math>를 <math>(\mathbb S^n,\bullet)\to(X,\bullet_0)</math>에서 <math>(\mathbb S^n,\bullet)\to(X,\bullet_1)</math> 사이의 [[호모토피]]로 유일하게 확대할 수 있다. 이에 따라, <math>\gamma</math>는 서로 다른 밑점에 대한 호모토피 군 사이의 [[동형]]
:<math>\gamma^*\colon \pi_n(X,\bullet_0)\to\pi_n(X,\bullet_1)</math>
을 정의하며, 이는 <math>\gamma</math>의 [[호모토피류]]에만 의존한다. 특히, <math>\bullet_0=\bullet_1=\bullet_X</math>일 경우, <math>[\gamma]\in\pi_1(X,\bullet_X)</math>가 되며, 따라서 <math>\pi_1(X,\bullet_X)</math>는 <math>\pi_n(X,\bullet_X)</math> 위에 작용한다.

<math>n=1</math>일 경우, [[기본군]]의 스스로 위의 [[군의 작용|작용]]은 [[켤레류|켤레]] 작용 <math>h\mapsto ghg^{-1}</math>이다. (기본군의 <math>\pi_0</math> 위의 작용은 자명하다.)

기본군의 모든 차수 호모토피 군에 대한 작용이 자명한 [[점을 가진 공간]]을 '''단순 공간'''({{llang|en|simple space}})이라고 한다. 특히, 단순 공간의 기본군은 (켤레 작용이 자명하므로) [[아벨 군]]이어야 한다.

== 예 ==
[[기본군]]은 [[자이페르트-판 캄펀 정리]]를 사용하여 쉽게 계산할 수 있는 반면, 고차 호모토피 군의 계산은 (심지어 [[초구]]와 같은 간단한 경우에도) 일반적으로 매우 어렵다.

=== 한원소 공간 ===
[[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>의 경우, 모든 호모토피 군은 [[자명군]]이다. (즉, 0차 호모토피 군은 [[한원소 집합]]이다.)
:<math>\pi_n(\{\bullet\})=0\qquad\forall n\in\mathbb N</math>

보다 일반적으로, [[비이산 공간]] <math>S</math>에서 임의의 점을 밑점으로 잡자. 비이산 공간을 [[공역]]으로 하는 모든 함수는 [[연속 함수]]이며, 따라서 비이산 공간을 [[공역]]으로 하는, 같은 정의역을 갖는 모든 함수들은 같은 [[호모토피류]]에 속한다. 따라서, [[비이산 공간]]의 호모토피 군은 모두 [[자명군]]이다.

[[축약 가능 공간]]은 한원소 공간과 호모토피 동치이므로 마찬가지로 호모토피 군이 자명군이다.

=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]]  <math>S</math>에서 임의의 점 <math>s\in S</math>을 밑점으로 잡자. 이산 공간을 [[공역]]으로 하는 [[연속 함수]]는 [[국소 상수 함수]] 밖에 없다. [[하이퍼큐브]] <math>[0,1]^n</math>은 [[연결 공간]]이므로, [[이산 공간]]<math>S</math> 위의 호모토피 군 <math>\pi_n(S,s)</math>은 다음과 같다.
:<math>\pi_0(S,s)=S</math>
:<math>\pi_n(S,s)=1\qquad\forall n>0</math>
즉, <math>\pi_0(S,s)</math>는 <math>S</math>와 표준적인 [[일대일 대응]]을 가지며, 고차 호모토피 군은 모두 [[자명군]]이다.

=== 원환면 ===
[[원환면]] <math>T^k</math>의 호모토피 군은 다음과 같다.
:<math>\pi_1(T^k)=\mathbb Z^n</math>
:<math>\pi_n(T^k)=1</math> ([[자명군]]) (<math>n>1</math>)
이와 같이, 2차 이상 호모토피 군이 자명한 공간을 '''비구면 공간'''({{llang|en|aspherical space}})이라고 한다.

=== 초구 ===
[[초구]] <math>S^k</math>의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 [[구 (기하학)|구]]의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다.

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!style="height: 2.5em"| ''S''<sup>4</sup>
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|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| ℤ
|style="background:#DDFFDD; border-top: solid black 2px"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFDDDD; border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFFFCC"| ℤ&times;ℤ<sub>12</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub><sup>2</sup>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub><sup>2</sup>
|style="background:white"| ℤ<sub>24</sub>&times;ℤ<sub>3</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>15</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub><sup>3</sup>
|style="background:white"| ℤ<sub>120</sub>&times;ℤ<sub>12</sub>&times;ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>84</sub>&times;ℤ<sub>2</sub><sup>5</sup>
|-
!style="height: 2.5em"| ''S''<sup>5</sup>
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| 0
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| ℤ
|style="background:#DDFFDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFDDDD; border-top: solid black 2px"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#DDDDFF; border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px"| ℤ<sub>24</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>30</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub><sup>3</sup>
|style="background:white"| ℤ<sub>72</sub>&times;ℤ<sub>2</sub>
|-
!style="height: 2.5em"| ''S''<sup>6</sup>
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| 0
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| ℤ
|style="background:#DDFFDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFDDDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#DDDDFF; border-top: solid black 2px"| ℤ<sub>24</sub>
|style="background:#DDFFDD; border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px"| 0
|style="background:#FFFFCC"| ℤ
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>60</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>24</sub>&times;ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub><sup>3</sup>
|-
!style="height: 2.5em"| ''S''<sup>7</sup>
|style="background:#DDDDFF"| 0
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| 0
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| ℤ
|style="background:#DDFFDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFDDDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#DDDDFF"| ℤ<sub>24</sub>
|style="background:#DDFFDD; border-top: solid black 2px"| 0
|style="background:#FFDDDD; border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px"| 0
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>120</sub>
|style="background:white"| ℤ<sub>2</sub><sup>3</sup>
|-
!style="height: 2.5em"| ''S''<sup>8</sup>
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| 0
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| 0
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD"| 0
|style="background:#DDDDFF"| ℤ
|style="background:#DDFFDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFDDDD"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#DDDDFF"| ℤ<sub>24</sub>
|style="background:#DDFFDD"| 0
|style="background:#FFDDDD; border-top: solid black 2px"| 0
|style="background:#DDDDFF; border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFFFCC; border-bottom: solid black 2px"| ℤ&times;ℤ<sub>120</sub>
|}

=== 리 군 ===
일반적으로, [[연결 공간|연결]] [[리 군]] <math>G</math>의 호모토피 군은 다음과 같다.
* <math>\pi_0(G)=0</math> ([[자명군]])
* <math>\pi_1(G)</math>는 [[유한 생성 아벨 군]]
* <math>\pi_2(G)=0</math> ([[자명군]])
* <math>\pi_3(G)</math>는 [[자유 아벨 군|자유]] [[유한 생성 아벨 군]] (즉, <math>\mathbb Z^k</math>의 꼴)

흔히 쓰이는 [[리 군]]의 호모토피 군은 다음과 같다. 굵은 선 아래는 [[보트 주기성]]에 의하여 일정하지만, 굵은 선 위에는 불규칙하다.

{| class="wikitable"
|-
! 군
!style="width:3em"| π<sub>0</sub>
!style="width:3em"| π<sub>1</sub>
!style="width:3em"| π<sub>2</sub>
!style="width:3em"| π<sub>3</sub>
!style="width:3em"| π<sub>4</sub>
!style="width:3em"| π<sub>5</sub>
!style="width:3em"| π<sub>6</sub>
!style="width:3em"| π<sub>7</sub>
!style="width:3em"| π<sub>8</sub>
!style="width:3em"| π<sub>9</sub>
!style="width:3em"| π<sub>10</sub>
!style="width:3em"| π<sub>11</sub>
!style="width:3em"| π<sub>12</sub>
|-
| U(1)
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| U(2) || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|| ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>12</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>3</sub> || ℤ<sub>15</sub> || ℤ<sub>2</sub> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup>
|-
| U(3) || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|| ℤ<sub>6</sub>
|-
| U(4) || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|-
| U(5) || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|-
| U(6) || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|}

{| class="wikitable"
|-
! 군
!style="width:3em"| π<sub>0</sub>
!style="width:3em"| π<sub>1</sub>
!style="width:3em"| π<sub>2</sub>
!style="width:3em"| π<sub>3</sub>
!style="width:3em"| π<sub>4</sub>
!style="width:3em"| π<sub>5</sub>
!style="width:3em"| π<sub>6</sub>
!style="width:3em"| π<sub>7</sub>
!style="width:3em"| π<sub>8</sub>
!style="width:3em"| π<sub>9</sub>
|-
| O(1) || ℤ<sub>2</sub> || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| O(2)
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub> || ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| O(3) ||  ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>12</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>3</sub>
|-
| O(4) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0 || ℤ<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>12</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>3</sub>)<sup>2</sup>
|-
| O(5) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0
|-
| O(6) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0 || ℤ || 0 || ℤ || ℤ<sub>24</sub> || ℤ<sub>2</sub>
|-
| O(7) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0
|-
| O(8) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0
|-
| O(9) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0 || 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|-
| O(10) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0 || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub>
|-
| O(11) || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub>
|}

{| class="wikitable"
|-
! 군
!style="width:3em"| π<sub>0</sub>
!style="width:3em"| π<sub>1</sub>
!style="width:3em"| π<sub>2</sub>
!style="width:3em"| π<sub>3</sub>
!style="width:3em"| π<sub>4</sub>
!style="width:3em"| π<sub>5</sub>
!style="width:3em"| π<sub>6</sub>
!style="width:3em"| π<sub>7</sub>
!style="width:3em"| π<sub>8</sub>
!style="width:3em"| π<sub>9</sub>
!style="width:3em"| π<sub>10</sub>
!style="width:3em"| π<sub>11</sub>
!style="width:3em"| π<sub>12</sub>
!style="width:3em"| π<sub>13</sub>
|-
| Sp(1)
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px" | ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub>
|| ℤ<sub>12</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>3</sub> || ℤ<sub>15</sub> || ℤ<sub>2</sub> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup>
|-
| Sp(2) || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px" | ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0
|| ℤ<sub>120</sub> || ℤ<sub>2</sub> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup>
|-
| Sp(3) || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px" | ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub>
|}

== 역사 ==
1차 호모토피 군인 [[기본군]]은 [[앙리 푸앵카레]]가 1895년에 정의하였다.<ref>{{저널 인용|last=Poincaré |first=Henri |authorlink=앙리 푸앵카레 |날짜=1895 |제목=Analysis situs |journal=Journal de l'École Polytechnique (serie 2) |volume=1 | pages=1–123 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337198/f7.image | 언어=fr}}</ref>

[[에두아르트 체흐]]는 1932년 [[취리히]] [[국제 수학자 대회]]에서 최초로 고차 호모토피 군을 정의하였으나,<ref>{{서적 인용|이름=E.|성=Čech|저자링크=에두아르트 체흐|장=Höherdimensionale Homotopiegruppen|제목= Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresses: Zürich 1932. Zweiter Band|출판사=O. Füssli|날짜=1932|쪽=203|jfm=58.0646.06|언어=de}}</ref> 고차 호모토피 군이 [[기본군]]과 달리 모두 [[아벨 군]]이라는 사실이 밝혀지면서 체흐는 이 개념의 연구를 포기하였다.

이후 [[폴란드]]의 [[비톨트 후레비치]]({{llang|pl|Witold Hurewicz}})가 1935년에 고차 호모토피 군의 개념을 재발견하였고, [[후레비치 준동형]]을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen I. Höherdimensionale Homotopiegruppen|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam  |권=38|날짜=1935|쪽=112–119|zbl=0010.37801|jfm=61.0618.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen II. Homotopie- und Homologiegruppen|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam |권=38|날짜=1935|쪽=521–528|zbl=0011.37101|jfm=61.0619.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen III. Klassen und Homologietypen von Abbildungen|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam |권=39|날짜=1936|쪽=117–126|zbl=0013.22903|jfm=62.0678.02|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen IV. Asphärische Räume|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam|권=39|날짜=1936|쪽=215–224|zbl=0013.28303|언어=de}}</ref> 1941년에 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드]]는 호모토피 군 위의 화이트헤드 괄호를 정의하였다.<ref name="Whitehead"/>

[[아벨 군]] 계수를 가진 호모토피 군은 프랭클린 폴 피터슨({{llang|en|Franklin Paul Peterson}}, 1930~2000)이 1956년 박사 학위 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Franklin Paul|성=Peterson|제목=Generalized cohomotopy groups|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1956-04_78_2/page/n37|저널=American Journal of Mathematics|권=78|쪽=259–281|날짜=1956|jstor=2372515|doi=10.2307/2372515|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[기본군]]
* [[약한 호모토피 동치]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homotopy group}}
* {{매스월드|id=HomotopyGroup|title=Homotopy group}}
* {{nlab|id=homotopy group|title=Homotopy group}}
* {{nlab|id=Whitehead product}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Actions_of_the_fundamental_group|제목=Actions of the fundamental group|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Simple_space|제목=Simple space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2013/09/08/the-homotopy-groups-are-only-groups/|제목=The homotopy groups are only groups|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2013-09-08|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/higher-homotopy-groups-are-spooky/|제목=Higher Homotopy groups are spooky|이름=Evelyn|성=Lamb|날짜=2014-10-31|웹사이트=Roots of Unity|출판사=Scientific American|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]