호모토피 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''호모토피'''({{llang|en|homotopy}}) 또는 '''연속 변형 함수'''(連續變形函數)는 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 [[공역]]으로 하는 특정한 [[연속 함수]]이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 [[경로 (위상수학)|경로]]가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

== 정의 ==
=== 고전적 정의 ===
[[파일:Homotopic paths.svg|섬네일|오른쪽|두 경로 <math>f,g\colon[0,1]\to Y</math> 사이의 호모토피 <math>F</math>. 이는 양끝점을 고정시키지 않으므로 경로 호모토피가 아니다.]]
위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 두 [[연속 함수]]
:<math>f\colon X\to Y</math>
:<math>g\colon X\to Y</math>
사이의 '''호모토피'''는 다음과 같은 성질을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>H\colon X\times[0,1]\to Y</math>이다.
* <math>f=H(-,0)</math>
* <math>g=H(-,1)</math>
두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 '''호모토픽'''({{llang|en|homotopic}}) 또는 '''연속 변형적'''(連續變形的)이라 하며 <math>f\simeq g</math>와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 [[동치 관계]]를 이루며, 이에 대한 [[동치류]]를 '''호모토피류'''(homotopy類, {{llang|en|homotopy class}})라고 한다.<ref name="곽진호"/>{{rp|158–159}} 연속 함수 <math>f</math>의 호모토피류는 보통 <math>[f]</math>라고 쓴다.

[[파일:P1S2all.jpg|섬네일|오른쪽|구 위의 [[대원]]은 널호모토픽하다.]]
[[상수 함수]]에 호모토픽한 함수를 '''널호모토픽'''(null-homotopic) 또는 '''영연속 변형적'''(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 '''널호모토피'''(null-homotopy) 또는 '''영연속 변형 함수'''(零連續變形函數)라 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|323}}

모든 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>는 [[데카르트 닫힌 범주]]가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 정의할 수 있다. (예를 들어, [[콤팩트 생성 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CGTop}</math>나 [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[약한 하우스도르프 공간]] <math>\operatorname{CGWH}</math>가 있다.)
<math>\operatorname{CGTop}</math>에서는 [[지수 대상]]의 법칙
:<math>Y^{X\times[0,1]}\cong(Y^{[0,1]})^X\cong (Y^X)^{[0,1]}</math>
이 성립한다. 여기서 <math>\times</math>는 [[콤팩트 생성 공간]]의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이다. <math>(-)^{(-)}</math>는 [[콤팩트 생성 공간]]에서의 [[지수 대상]]이며, 집합으로서 이는 [[연속 함수]]의 집합이다. 따라서, <math>\operatorname{CGTop}</math>에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 [[동치]]이다.
* [[연속 함수]] 공간 <math>Y^X</math>에서의 [[경로 (위상수학)|경로]] <math>h\colon[0,1]\to Y^X</math>. 이는 가장 직관적인 정의이며, 위상 공간 위의 [[풍성한 범주]]에서 직접적으로 일반화할 수 있다.
* <math>X\times[0,1]</math>에서 <math>Y</math>로 가는 [[연속 함수]] <math>h\colon X\times[0,1]\to Y</math>. 이는 고전적인 정의이다. 이 정의는 임의의 [[모형 범주]]에서 '''왼쪽 호모토피'''({{llang|en|left homotopy}})라는 이름으로 일반화된다.
** 일반적으로 <math>\operatorname{CGTop}</math>에서의 곱은 [[곱공간]]보다 더 [[위상의 비교|섬세한]] 위상을 가진다. 그러나 구간 <math>[0,1]</math>은 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이므로, 만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 생성 공간]]이라면 <math>X\times[0,1]</math>의 위상은 [[곱공간]] 위상과 일치한다. 따라서, [[콤팩트 생성 공간]] 사이의 [[연속 함수]]의 호모토피의 정의는 <math>\operatorname{Top}</math>을 사용하든, <math>\operatorname{CGTop}</math>을 사용하든 상관이 없다.
* <math>X</math>에서 [[경로 공간]] <math>Y^{[0,1]}</math>으로 가는 [[연속 함수]] <math>h\colon X\to Y^{[0,1]}</math>. 이는 임의의 [[모형 범주]]에서 '''오른쪽 호모토피'''({{llang|en|right homotopy}})라는 이름으로 일반화된다.

=== 풍성한 범주에서의 정의 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>는 [[데카르트 모노이드 범주]]를 이룬다. 그 위의 [[풍성한 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, 그 사이의 사상 집합 <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>는 사실 단순한 [[집합]]이 아니라, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 구조가 갖추어져 있다고 하자.

같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>이 주어졌다고 하자. 이는 <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math> 속의 두 점
:<math>f,g\in \hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>
을 이룬다. 이 경우, <math>f</math>와 <math>g</math> 사이의 '''호모토피'''는 <math>f</math>와 <math>g</math>를 잇는, <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math> 속의 [[경로 (위상수학)|경로]]이다. 이는 <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math> 위의 [[동치 관계]]를 이룬다. '''호모토피류'''는 <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>의 [[경로 연결 성분]]이다.

고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이루지 않는다. 그러나
<math>\operatorname{CGTop}</math> 등 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 구성된 [[데카르트 닫힌 범주]]를 사용하면, 이는 스스로 위의 [[풍성한 범주]]를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.

보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "[[연결 성분]]"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 [[단체 집합]]의 범주 <math>\operatorname{sSet}</math>를 사용할 수도 있다.

=== 모형 범주에서의 정의 ===
호모토피 이론은 추상적으로 임의의 [[모형 범주]] 위에서 전개될 수 있다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주(또는 [[콤팩트 생성 공간]]의 범주 등)는 [[모형 범주]]의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 [[모형 범주]]에 대하여 일반화할 수 있다.<ref name="MP">{{서적 인용|이름1=Peter|성1=May|이름2=Kathleen|성2=Ponto|제목=More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/TEAK/KateBookFinal.pdf|총서=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-022651178-8|날짜=2012-02|출판사=University of Chicago Press|언어=en|access-date=2016-02-12|archive-date=2017-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20170706083202/http://www.math.uchicago.edu/~may/TEAK/KateBookFinal.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|§14.3}} 이 경우, '''왼쪽 호모토피'''({{llang|en|left homotopy}})와 '''오른쪽 호모토피'''({{llang|en|right homotopy}})라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 ([[정의역]]이 쌍대올대상이며 [[공역]]이 올대상인 경우) 서로 [[동치]]이다.

편의상, 올뭉치는 <math>\twoheadrightarrow</math>로, 쌍대올뭉치는 <math>\hookrightarrow</math>로, 약한 동치는 <math>\xrightarrow\sim</math>로 표기하자.

==== 왼쪽 호모토피 ====
임의의 [[유한 쌍대 완비 범주]]에서, 다음과 같은 [[쌍대 대각 사상]]이 존재한다.
:<math>X\sqcup X\to X</math>
여기서 <math>\sqcup</math>은 [[쌍대곱]]이다 (즉, 위상 공간의 경우 [[분리합집합]]이다).
[[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에서, 대상 <math>X</math>의 '''기둥 대상'''({{llang|en|cylinder object}}) <math>\operatorname{Cyl}X</math>는 [[쌍대 대각 사상]] <math>X\sqcup X\to X</math>의 다음과 같은 분해이다.
:<math>X\sqcup X\to\operatorname{Cyl}X\xrightarrow\sim X</math>
이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" <math>X\times[0,1]</math>의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.<ref name="MP"/>{{rp|280, Definition 14.3.1}}
* 만약 <math>X\sqcup X\to\operatorname{Cyl}X</math>가 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 기둥 대상'''({{llang|en|good cylinder object}})이라고 한다.
* 만약 <math>X\sqcup X\to\operatorname{Cyl}X</math>가 쌍대올뭉치이며, <math>\operatorname{Cyl}X\xrightarrow\sim X</math>가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 '''매우 좋은 기둥 대상'''({{llang|en|very good cylinder object}})이라고 한다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조({{llang|en|Quillen model structure}})를 준 경우 <math>X\times[0,1]</math>는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조({{llang|en|Hurewicz model structure}})에서 <math>X\times[0,1]</math>는 매우 좋은 기둥 대상이다.

두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math> 사이의 '''왼쪽 호모토피'''({{llang|en|left homotopy}})는 어떤 기둥 대상 <math>\operatorname{Cyl}X</math>에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 <math>h\colon \operatorname{Cyl}X\to Y</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
X\sqcup X&\hookrightarrow&\operatorname{Cyl}X\\
&{\scriptstyle f\sqcup g}\searrow&\downarrow\scriptstyle h\\
&&Y\end{matrix}</math>
이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 '''(매우) 좋은 왼쪽 호모토피'''({{llang|en|(very) good left homotopy}})라고 한다.

같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="MP"/>{{rp|282, Proposition 14.3.9(i), (ii)}}
* <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 [[동치]]이다.
* 만약 <math>Y</math>가 올대상이라면, <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 매우 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 [[동치]]이다.

왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 [[동치 관계]]를 이루지 않는다.<ref name="MP"/>{{rp|281}} 그러나 만약 [[정의역]] <math>X</math>가 쌍대올대상일 경우, 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 [[동치 관계]]를 이루며,<ref name="MP"/>{{rp|282, Proposition 14.3.9(iv)}} 이 경우 두 사상이 서로 '''왼쪽 호모토픽'''({{llang|en|left-homotopic}})하다고 한다.

==== 오른쪽 호모토피 ====
임의의 [[유한 완비 범주]]에서, 다음과 같은 [[대각 사상]]이 존재한다.
:<math>X\to X\times X</math>
여기서 <math>\times</math>은 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이다 (즉, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 경우 [[곱공간]]이며, [[콤팩트 생성 공간]]의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). [[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에서, 대상 <math>X</math>의 '''경로 공간 대상'''({{llang|en|path space object}}) <math>\operatorname{Path}X</math>는 [[대각 사상]] <math>X\to X\times X</math>의 다음과 같은 분해이다.
:<math>X\xrightarrow\sim\operatorname{Path}X\to X\times X</math>
이는 위상 공간의 범주에서의 [[경로 공간]] <math>X^{[0,1]}</math>의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.<ref name="MP"/>{{rp|281, Definition 14.3.4}}
* 만약 <math>\operatorname{Path}X\to X\times X</math>가 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 경로 공간 대상'''({{llang|en|good path space object}})이라고 한다.
* 만약 <math>\operatorname{Path}X\to X\times X</math>가 쌍대올뭉치이며, <math>X\xrightarrow\sim\operatorname{Path}X</math>가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 '''매우 좋은 경로 공간 대상'''({{llang|en|very good path space object}})이라고 한다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.

두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math> 사이의 '''오른쪽 호모토피'''({{llang|en|right homotopy}})는 어떤 경로 공간 대상 <math>\operatorname{Path}X</math>에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 <math>h\colon X\to\operatorname{Path}Y</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
X\\
{\scriptstyle h}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\times g\\
\operatorname{Path}Y&\twoheadrightarrow&Y\times Y
\end{matrix}</math>
이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 '''(매우) 좋은 오른쪽 호모토피'''({{llang|en|(very) good right homotopy}})라고 한다.

같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="MP"/>{{rp|282, Proposition 14.3.9(i), (ii)}}
* <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 [[동치]]이다.
* 만약 <math>X</math>가 쌍대올대상이라면, <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 <math>f</math>와 <math>g</math> 사이에 매우 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 [[동치]]이다.

마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 [[동치 관계]]를 이루지 않는다. 그러나 만약 [[공역]] <math>Y</math>가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 [[동치 관계]]를 이루며,<ref name="MP"/>{{rp|282, Proposition 14.3.9(iv)}} 이 경우 두 사상이 서로 '''오른쪽 호모토픽'''({{llang|en|right-homotopic}})하다고 한다.

==== 왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피의 관계 ====
왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="MP"/>{{rp|284, Proposition 14.3.11}}
* 만약 <math>X</math>가 쌍대올대상이며, 왼쪽 호모토피 <math>f\Rightarrow g</math>가 존재한다면, 오른쪽 호모토피 <math>f\Rightarrow g</math> 역시 존재한다.
* 만약 <math>Y</math>가 올대상이며, 오른쪽 호모토피 <math>f\Rightarrow g</math>가 존재한다면, 왼쪽 호모토피 <math>f\Rightarrow g</math> 역시 존재한다.
따라서, [[정의역]]이 쌍대올대상이고 [[공역]]이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 [[동치 관계]]를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 '''호모토픽'''하다고 한다.

또한, 주어진 쌍대올대상 <math>X</math>에 대하여, 임의의 올대상 <math>Y</math>으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, <math>Y</math>에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 <math>Y</math>에 대하여, 임의의 쌍대올대상 <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, <math>X</math>에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 <math>\operatorname{Path}Y</math>에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.<ref name="MP"/>{{rp|285, Corollary 14.3.13}}

==== 고전적 정의와의 관계 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 또는 [[콤팩트 생성 공간]]의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 [[CW 복합체]]는 쌍대올대상이다.

또한, 이 경우 고전적 기둥 <math>X\times[0,1]</math>은 (만약 <math>X</math>가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 [[콤팩트 생성 공간]]을 사용한다면 고전적 경로 공간 <math>X^{[0,1]}</math>은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, [[공역]]이 [[CW 복합체]]인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.

== 종류 ==
다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.

=== 부분 공간을 고정한 호모토피 ===
[[파일:Homotopy curves.svg|섬네일|경로 호모토피의 예]]
위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 및 <math>X</math>의 부분 공간 <math>X'</math>이 주어졌을 때, 두 연속 함수 <math>f,g\colon X\to Y</math> 사이의 호모토피 <math>H\colon X\times[0,1]\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>H</math>를 '''<math>X'</math>에서 고정된 호모토피'''({{llang|en|homotopy relative to <math>X'</math>}})라고 한다.<ref name="곽진호">{{서적 인용|저자1=곽진호|저자2=이재운|제목=조합적 곡면위상론|출판사=경문사|날짜=2007|언어=ko}}</ref>{{rp|158–159}}
* 임의의 <math>(x',t)\in X'\times[0,1]</math>에 대하여, <math>H(x',t)=f(x')=g(x')</math>
<math>f</math>와 <math>g</math>가 <math>X'</math>을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.
:<math>f \simeq g\;\operatorname{rel} X'</math>
부분 공간을 고정한 호모토피 역시 [[동치 관계]]를 이루며, 이에 대한 [[동치류]] 역시 정의할 수 있다.

이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 <math>Y</math> 위의 [[경로 (위상수학)|경로]] <math>f,g\colon[0,1]\to Y</math>에 대하여, <math>\{0,1\}\subset[0,1]</math>을 고정한 호모토피를 '''경로 호모토피'''({{llang|en|path homotopy}})라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 <math>\simeq_{\text{p}}</math>로 쓴다.<ref name="Munkres"/>{{rp|323}}

=== 아이소토피 ===
[[파일:Mug_and_Torus_morph.gif|섬네일|오른쪽|커피잔의 표면과 [[원환면]]은 둘 다 3차원 [[유클리드 공간]]으로 매장할 수 있으며, 이 두 매장 사이에는 그림과 같이 아이소토피가 존재한다.]]
두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 두 [[매장 (수학)|매장]] <math>f,g\colon X\to Y</math> 사이의 호모토피 <math>H\colon X\times[0,1]\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킬 경우, <math>H</math>를 '''아이소토피'''({{llang|en|isotopy}}) 또는 '''동위'''(同位)라고 한다.
* 모든 <math>t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>H(-,t)\colon X\to Y</math>는 [[매장 (수학)|매장]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[축약 가능 공간]]
* [[기본군]]
* [[호모토피 동치]]
* [[호모토피 군]]
* [[푸앵카레 추측]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}
* {{서적 인용 |last= May |first=J. Peter|title=A concise course in algebraic topology |날짜=1999-09 |publisher=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|위치= Chicago |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|언어=en|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-02-2651-183-2}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|Homotopy}}
* {{eom|title=Homotopy}}
* {{eom|title=Isotopy (in topology)}}
* {{매스월드|id=Homotopy|title=Homotopy}}
* {{매스월드|id=Homotopic|title=Homotopic}}
* {{매스월드|id=HomotopyClass|title=Homotopy class}}
* {{매스월드|id=Isotopy|title=Isotopy}}
* {{nlab|id=homotopy|title=Homotopy}}
** {{nlab|id=cylinder object|title=Cylinder object}}
** {{nlab|id=path object|title=Path object}}
** {{nlab|id=cylinder functor|title=Cylinder functor}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:연속 함수]]