형식적 스킴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''형식적 스킴'''(形式的scheme, {{llang|en|formal scheme}})은 스스로의 ‘무한소 근방’의 데이터를 기억하는, [[스킴 (수학)|스킴]]의 개념의 일반화이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|190–200, §Ⅱ.9}}

== 정의 ==
=== 아핀 형식적 스킴 ===
[[뇌터 가환환]] <math>A</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak I \subseteq A</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[완비화 (환론)|완비화]]
:<math>\hat A = \varprojlim A / \mathfrak I^n</math>
을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 환 준동형들이 존재한다.
:<math>0 = A / \mathfrak I^0 \leftarrow A/\mathfrak I \leftarrow A/\mathfrak I^2 \leftarrow \dotsb \leftarrow\hat A \leftarrow A</math>

이 경우, [[환의 스펙트럼]]을 취하자.
:<math>\operatorname{Spec} (A/\mathfrak I) \leftarrow \operatorname{Spec} (A/\mathfrak I^2) \leftarrow \dotsb \leftarrow \operatorname{Spec}\hat A \leftarrow \operatorname{Spec}A</math>
<math>\operatorname{Spec}A</math>를 제외하면, 나머지는 모두 [[위상 동형]]이다. (물론, 이들은 [[환 달린 공간]]으로서 서로 다르다.)

이 경우, [[환 달린 공간]] <math>\operatorname{Spf}\hat A</math>를 다음과 같이 정의하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 <math>\operatorname{Spf}\hat A</math>는 (임의의 <Math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여) <math>\operatorname{Spec}(A/\mathfrak i^n)</math>과 [[위상 동형]]이다.
* <math>\operatorname{Spf}\hat A</math>의 구조층은 가환환층의 [[사영 극한]] <math>\varprojlim_n \mathcal O_{\operatorname{Spec}(A/\mathfrak I^n)}</math>이다.

이 구성은 <math>A</math>와 <math>\mathfrak I</math>에 의존하는 것처럼 보이지만, 사실 이는 <math>\hat A</math>의 [[위상환]] 구조에만 의존한다. 즉, <math>\hat A</math>와 동형인 [[위상환]]을 정의하는 <math>(A,\mathfrak I')</math>을 사용하더라도 동형인 [[환 달린 공간]]을 얻는다.

=== 일반적 형식적 스킴 ===
'''형식적 스킴'''은 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 [[열린 근방]]을 갖는 [[환 달린 공간]]이다. (즉, 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 [[아핀 스킴]]과 [[스킴 (수학)|스킴]]의 관계, 또는 [[유클리드 공간]]과 [[매끄러운 다양체]]의 관계와 같다.)

== 성질 ==
뇌터 위상환 <math>\hat A = \varprojlim_{n\to\infty}A/\mathfrak I^n</math>은 자연스럽게 [[기저 (위상수학)|기저]]
:<math>\{a + \mathfrak I^n \colon a\in \hat A,\;n\in\mathbb N\}</math>
를 갖는 위상을 가져 [[위상환]]을 이룬다. 이 경우, <math>\operatorname{Spf}\hat A</math>의 점들은 <math>\hat A</math>의 [[소 아이디얼]] 가운데 [[열린집합]]인 것들이다.

또한, 정의에 따라 임의의 [[열린집합]] <math>U \subseteq \operatorname{Spf}\hat A</math>에 대하여,
:<math>\Gamma(U,\mathcal O_{\operatorname{Spf}\hat A}) = \varprojlim_{n\to\infty} \Gamma(U,\mathcal O_{\operatorname{Spec}(A/\mathfrak I^n)})</math>
이다.

== 예 ==
=== 자명환 ===
[[자명환]] <math>0</math>은 ([[이산 공간]]으로) [[위상환]]을 이루며, 이 위상은 [[영 아이디얼]] <math>(0)</math>으로 정의된다. 그 형식적 스펙트럼은 [[공집합]]이다.
:<math>\operatorname{Spf}0 = \varnothing</math>

=== 형식적 멱급수 ===
[[뇌터 가환환]] <math>K</math>가 주어졌을 때, [[다항식환]]
:<math>A = K[x]</math>
의 [[아이디얼]]
:<math>\mathfrak I = (x)</math>
에 대한 [[완비화 (환론)|완비화]]는 [[형식적 멱급수환]]이다.
:<math>\varprojlim_{n\to\infty} K[x]/(x^n) = K[[x]]</math>
[[위상환]]으로서, 이는 [[이산 공간]]으로 간주한 <math>K</math>의 가산 무한 [[곱집합]]과 [[위상 동형]]이다. 이에 대한 형식적 스펙트럼 <math>\operatorname{Spf}K[[x]]</math>을 취할 수 있다.

이제 추가로 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 가정하자. 그 [[소 아이디얼]]들은 <math>\operatorname{Spec}K[[x]] = \{(x),(0)\}</math>이다. 이 가운데 [[열린집합]]인 것(즉, 완비화를 정의하는 [[아이디얼]] <math>(x)</math>를 [[부분 집합]]으로 포함하는 것)은 <math>(x)</math> 자체 밖에 없다. 즉, <math>\operatorname{Spf}K[[x]] = \{(x)\}</math>는 [[한원소 집합]]이다. 그 위의 [[구조층]]의 단면 대수는 정의에 따라서
:<math>\Gamma(\mathcal O_{\operatorname{Spf}K[[x]]}) = K[[x]]</math>
이다.

=== 국소 뇌터 스킴 ===
임의의 가환환 <math>R</math>을 [[이산 공간]]으로 간주할 수 있다. 이는 [[영 아이디얼]]에 대한 [[완비화 (환론)|완비화]]로 생각할 수 있다.

만약 <math>R</math>가 이산 [[뇌터 가환환]]이라면, 그 형식적 스펙트럼은 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]과 ([[환 달린 공간]]으로서) 같다.

보다 일반적으로, 모든 [[국소 뇌터 스킴]]은 형식적 스킴을 이룬다.

=== 닫힌 부분 스킴의 완비화 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[국소 뇌터 스킴]] <math>X</math>
* [[아이디얼층]] <math>\mathcal I</math>로 정의되는 [[닫힌 부분 스킴]] <math>Y \hookrightarrow X</math>
그렇다면, <math>Y</math>의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위에 다음과 같은 가환환층을 부여할 수 있다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag | isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 |doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285| 언어=en}}</ref>{{rp|192, §Ⅱ.9}}
:<math>\mathcal O_{\hat Y} = \varprojlim_{n\to\infty} \mathcal O_X/\mathfrak I^n</math>
그렇다면 <math>\hat Y=(Y,\mathcal O_{\hat Y})</math>는 형식적 스킴을 이룬다. 이를 '''<math>X</math>의 <math>Y</math> 근처의 형식적 완비화'''({{llang|en|formal completion of <math>X</math> along <math>Y</math>}})라고 한다.

물론, 이 경우 <math>\mathcal I = 0</math>(즉, <math>X = Y</math>)로 놓으면, 원래 스킴 <math>X</math>를 얻는다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|Example 9.3.3}}

== 역사 ==
[[오스카 자리스키]]가 1949년에 “형식적 [[정칙 함수]]”의 개념을 도입하였다.<ref>{{저널 인용 |mr=0041488
|last=Zariski|first= Oscar|저자링크=오스카 자리스키
|title=A fundamental lemma from the theory of holomorphic functions on an algebraic variety
|journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume= 29|year=1949|pages=187–198|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|mr=0041487
|last=Zariski|first= Oscar|저자링크=오스카 자리스키
|title=Theory and applications of holomorphic functions on algebraic varieties over arbitrary ground fields
|series=Memoirs of the American Mathematical Society|volume= 5 |year=1951|doi=10.1090/memo/0005|언어=en}}</ref> (이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.) 이후 자리스키의 개념을 [[알렉산더 그로텐디크]]가 [[스킴 (수학)|스킴]]의 언어로 재정의하여 형식적 스킴의 개념을 정의하였다.

== 같이 보기 ==
* [[변형 함자]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=formal scheme|title=Formal scheme}}
* {{nlab|id=formal spectrum|title=Formal spectrum}}

[[분류:스킴 이론]]