현수환 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''현수환'''(懸垂環, {{llang|en|catenary ring}})은 두 [[소 아이디얼]] 사이의 상대 [[아이디얼의 높이|높이]]가 잘 정의되는 [[가환환]]이다. 대수기하학에서 흔히 등장하는 거의 모든 [[뇌터 환]]은 현수환이다.

== 정의 ==
=== 현수 부분 순서 집합 ===
[[부분 순서 집합]] <math>(S,\le)</math> 속의 유한 길이의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>a_0\le a_1\le\cdots\le a_n</math>에 대하여, 새 원소를 추가할 수 없다면 (즉, 임의의 <math>1\le i\le n</math>에 대하여 <math>a_{i-1}\le a'\le a_i</math>인 원소 <math>a'</math>이 존재할 수 없다면), 이 사슬을 '''포화 사슬'''({{llang|en|saturated chain}})이라고 한다. 부분 순서 집합 <math>(S,\le)</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''현수 부분 순서 집합'''(懸垂部分順序集合, {{llang|en|catenary poset}})이라고 한다.
* 임의의 두 원소 <math>p\le q</math>에 대하여, <math>p</math>를 [[최소 원소]]로, <math>q</math>를 [[최대 원소]]로 하는 가는 [[사슬 (순서론)|사슬]]의 크기는 항상 유한하다.
* 임의의 두 원소 <math>p\le q</math>에 대하여, <math>p</math>를 [[최소 원소]]로, <math>q</math>를 [[최대 원소]]로 하는 가는 모든 포화 [[사슬 (순서론)|사슬]]의 크기는 같다.

=== 현수환 ===
[[가환환]] <math>R</math>의 [[소 아이디얼]]들의 [[부분 순서 집합]]이 현수 부분 순서 집합이라면, <math>R</math>를 '''현수환'''(懸垂環, {{llang|en|catenary ring}})이라고 한다.

마찬가지로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[공집합]]이 아닌 [[기약 공간|기약]] [[닫힌집합]]들의 부분 순서 집합이 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합이라면, <math>X</math>를 '''현수 공간'''(懸垂空間, {{llang|en|catenary space}})이라고 한다. '''현수 스킴'''(懸垂scheme, {{llang|en|catenary scheme}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 현수 공간인 [[스킴 (수학)|스킴]]이다.

[[대수기하학]]적으로, [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>은 [[닫힌 부분 스킴]] <math>\operatorname{Spec}(R/\mathfrak p)\subseteq\operatorname{Spec}R</math>에 대응한다. 현수환 조건은 이러한 두 닫힌 부분 스킴의 상대 [[크룰 차원]]이 일정함을 뜻한다.

=== 보편 현수환 ===
가환환 <math>R</math> 위의 모든 유한 생성 가환 [[결합 대수]]가 현수환이라면, <math>R</math>를 '''보편 현수환'''(普遍懸垂環, {{llang|en|universally catenary ring}})이라고 한다. 마찬가지로, [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 위의 모든 [[국소 유한형 사상|국소 유한형 스킴]] <math>Y\to X</math>가 현수 스킴이라면, <math>X</math>를 '''보편 현수 스킴'''(普遍懸垂scheme, {{llang|en|universally catenary scheme}})이라고 한다.

== 성질 ==
[[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]]에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[가환환|가환]] 뇌터 국소환 ⊋ 뇌터 현수 국소환 ⊋ 뇌터 보편 현수 국소환 ⊋ [[코언-매콜리 국소환]] ⊋ [[고런스틴 국소환]] ⊋ [[정칙 국소환]]

모든 [[데데킨트 정역]]은 보편 현수환이다. 모든 완비 뇌터 국소환은 보편 현수환이다.

보편 현수환의 임의의 곱셈 부분 [[모노이드]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 보편 현수환이다. 보편 현수환 위의 유한 생성 가환 [[결합 대수]]는 보편 현수환이다.

=== 국소성 ===
[[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 현수환이다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak p}</math>는 국소 현수환이다.
* 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak m}</math>는 국소 현수환이다.

[[가환환|가환]] [[뇌터 환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 보편 현수환이다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak p}</math>는 국소 보편 현수환이다.
* 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak m}</math>는 국소 보편 현수환이다.

=== 차원 공식 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[뇌터 환|뇌터]] [[정역]] <math>R</math> 및 그 위의 유한 생성 가환 [[결합 대수]] <math>S\supseteq R</math>. 또한 <math>S</math> 역시 [[정역]]이다.
* <math>S</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak q\in\operatorname{Spec}S</math> 및 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p=\mathfrak q\cap R\in\operatorname{Spec}R</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{ht}(\mathfrak q)\le \operatorname{ht}(\mathfrak p)+ \operatorname{tr\,deg}_RS-\operatorname{tr\,deg}_{\operatorname{Frac}(R/\mathfrak p)}(\operatorname{Frac}(S/\mathfrak q))</math>
여기서
* <math>\operatorname{Frac}</math>은 [[정역]]의 [[분수체]]를 뜻한다.
* <math>\operatorname{ht}</math>는 [[아이디얼의 높이]]를 뜻한다.
* <math>\operatorname{tr\,deg}</math>는 [[체의 확대]]의 [[초월 차수]]를 뜻한다.

만약 <math>R</math>가 추가로 보편 현수환이라면, 위 부등식은 등식이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[환론]]
* [[국소환]]
* [[가환환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Excellent ring}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Catenary_ring|제목=Catenary ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Universally_catenary_ring|제목=Universally catenary ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:스킴 이론]]