현수선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|섬네일|180px|오른쪽|매달린 체인은 현수선 형태를 이룬다.]]
'''현수선'''(懸垂線, Catenary)은 [[물리학]]과 [[기하학]]에서, 밀도가 균일한 [[사슬]]이나 케이블 따위가 양끝 부분만이 고정되어 그 자체 무게만으로 드리워져 있을 때 나타나는 [[곡선]]이다. [[쌍곡선함수|쌍곡코사인]] 함수로 나타낼 수 있으며, 수학적으로는 상당히 다르지만 [[포물선]]과 비슷해보여 혼동될 수 있다. 특정한 [[아치]] 설계에서도 사용되는 모양이다. 평행한 두 원형 링에 비누막을 쳤을 때 나타나는 곡면을 [[현수면]]이라고 하는데, 이를 중심축 방향으로 자른 선이 또한 현수선이다. 현수면은 현수선의 회전체로서 [[극소곡면]]이며, 평면을 제외하고 회전체인 유일한 극소곡면이다.

현수선은 '그 자체 무게만으로 드리워져 있는 밀도가 균일한 선상'이라고 물리학적으로 정의된 곡선이므로, 각 지점에는 [[중력]]과 [[장력]]만이 작용하고 이를 분석함으로써 수학적으로 나타낼 수 있다. 현수선 아치는 현수선을 뒤집은 모양으로 설계하여 모든 하중이 [[압축 응력]]으로만 작용하게 만든 구조물인데, 이러한 물리학적 정의에 근거하면 현수선 모양으로 아치를 만들었을 때 [[인장 응력]]이 발생하지 않고 가장 견고함을 증명할 수 있다.

== 역사 ==
[[파일:LaPedreraParabola.jpg|섬네일|170px|오른쪽|[[가우디]]의 [[카사밀라]]의 지붕 아래의 현수선 아치]]
흔히 갈릴레오가 드리워진 선상의 곡선이 포물선이라고 생각했다고 하지만, 그의 책 《두 개의 신과학》(''Two New Sciences'', 1638년)에서 갈릴레오는 근사적으로 포물선이라고 말했을 뿐이며, 그러한 근사는 곡선의 크기가 작을수록, 특히 고도가 45° 미만일 때 가장 정확하다고 했다.<ref>{{서적 인용| 제목=Galileo, His Life and Work |first=John Joseph|last=Fahie|publisher=J. Murray|year=1903|쪽=359~360
|url=http://books.google.com/books?id=iX0RAAAAYAAJ&pg=PA359#v=onepage&q&f=false}}</ref> 실제로 포물선이 아님을 수학적으로 증명한 사람은 융기우스(Joachim Jungius)로, 그 결과는 그의 사후인 1669년에 발표되었다.<ref>Lockwood, 124쪽.</ref>

== 수학적 표현 ==
[[데카르트 좌표]]에서 현수선의 방정식은 다음과 같은 꼴을 가지는데, 여기서 'cosh'는 [[쌍곡선함수|쌍곡코사인]] 함수를 뜻한다.
:<math>y = a \, \cosh \left ({x \over a} \right ) = {a \over 2} \, \left (e^{x/a} + e^{-x/a} \right )\,</math>
일반적으로 모든 현수선 모양은 서로에 대해 [[닮음 (기하학)|닮음]]이며, 변수 a의 값에 따라 비례 축소가 달라진다.<ref>{{웹 인용 |url=http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Catenary_dir/catenary.html |제목=Catenary |출판사=Xahlee.org |date=2003-05-28 |확인날짜=2010-11-17}}</ref> 현수선 아치로 알려져 있는 것 중에 정확하게 현수선은 아닌 것들이 있는데, 흔히 납작한 현수선이라고 하며 일반적으로 <math>y = a \, \cosh \left (bx \right )</math>를 만족한다. <math>ab=1</math>인 경우만이 실제로 현수선인 것이다.

[[포물선]]이 직선 위를 미끄러짐 없이 굴러간다고 할 때, 포물선의 [[초점]]이 그리는 자취가 현수선이 된다.<ref name="Yates 13">{{서적 인용 |제목=Curves and their Properties
|first=Robert C.|last=Yates|publisher=NCTM|year=1952|pages=13}}</ref> 또한 같은 상황에서 [[준선]] 자취가 그리는 [[포락선]] 역시 현수선이 된다. 한편 현수선의 [[신개선]]은 [[추적선]](tractrix)이 되는데,<ref name="Yates 13"/> 추적선이란 X선 상을 일정한 속도로 움직이는 한 점을 향해 다른 한 점이 일정한 속력으로 쫓아붙을 때 생기는 곡선이다.

[[파일:Rolling-Square.gif|섬네일|200px|오른쪽|현수선 도로를 미끄러짐 없이 굴러가는 사각형 바퀴]]
전적선(roulette curve)이란 어떤 곡면이 다른 고정된 곡선이나 직선 위에서 미끄러짐 없이 구를 때 그 곡면 위의 한 고정점의 자취를 말하는 것으로, 예를 들면 사이클로이드는 원의 직선에 대한 전적선이라고 할 수 있다. 현수선의 경우, 직선이 현수선 위를 미끄러짐 없이 구를 때의 전적선은 또 다른 직선이 된다. 이는 정사각형 모양의 바퀴를 굴려서 매끄럽게 지나가게 할 수 있도록 울퉁불퉁한 도로를 만든다고 할 경우, 그 도로의 모양은 현수선을 적당히 잘라 붙인 모양이 되어야 하는 이유를 설명해주고 있다. 정삼각형을 제외한 모든 정다각형에 대해서 이와 같은 적당한 현수선 도로를 만들 수 있다.<ref>{{저널 인용 |저자=Hall, Leon.|공저자=Wagon, Stan.|year=1992|제목=Roads and Wheels |journal=Mathematics Magazine|권=65|호= 5|쪽=283~301 |출판사=MAA |url=http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28199212%2965%3A5%3C283%3ARAW%3E2.0.CO%3B2-4}}</ref>

== 각주 ==
<references/>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=A Book of Curves|이름=E.H.|성=Lockwood|출판사=케임브리지 대학 출판부|year=1961|chapter=Chapter 13: The Tractrix and Catenary|url=http://www.archive.org/details/bookofcurves006299mbp}}

[[분류:곡선]]
[[분류:거듭제곱]]