헬름홀츠 정리 문서 원본 보기

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'''헬름홀츠 정리'''({{llang|de|Satz von Helmholtz}}) 혹은 '''헬름홀츠 분해정리'''(Helmholtz Decomposition) 혹은 '''벡터 미적분학의 기본정리'''(Fundamental Theorem of Vector Calculus)란 [[독일]]의 물리학자 [[헤르만 폰 헬름홀츠]](Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz)가 제시한 [[해석학 (수학)|해석학]]의 정리이다. 이것은 어떤 벡터함수를 다른 방식으로 서술하는 근본적인 방법을 제시해 주는데, 이의 따름정리는 [[고전 역학]]과 [[전자기학]] 등에서 매우 중요하게 이용된다.

== 기본적인 형식 ==
이 정리의 가장 기본적인 형식이자, 학부 수준의 [[물리학]] 교과서에서 주로 사용되는 헬름홀츠 정리의 기술 방식은 다음과 같다.

'''정리''': 3차원 유클리드 공간에서, 어떤 벡터함수 <math>F(R)</math>의 발산 <math>d(R)</math>과 회전 <math>C(R)</math>이 정해지고, <math>|R|=r</math>이 무한대로 가는 극한에서 이 둘이 모두 <math>\frac{1}{r^2}</math>보다 빨리 <math>0</math>으로 접근하며 <math>F(R)</math> 역시 <math>0</math>으로 접근한다고 가정하자. 그러면 <math>F</math>는,
:<math>F = \nabla u + \nabla \times W </math>
꼴로 쓸 수 있다. 여기서 <math>u(R)</math>는 어떤 스칼라 함수이며, <math>W(R)</math>는 어떤 벡터 함수이다.

이 정리는 [[뉴턴 퍼텐셜 연산자]]를 이용해 다른 방식으로 다시 쓸 수 있다. 또 이 정리를 3차원 유클리드 공간에서 일반적인 [[리만 다양체]] 위의 [[미분형식]]으로 일반화시킨 결과를 [[하지 분해정리]]라 하는데, 이는 헬름홀츠 정리와 밀접하게 연관되어 있다.

=== 따름정리와 응용 ===
이 정리는, 다음과 같은 두 가지 기본적인 따름정리를 갖는다.
* 헬름홀츠 정리의 조건을 만족하는 벡터함수 <math>F(R)</math>의 회전이 0이면 어떤 스칼라 함수 <math>u(R)</math>가 존재하여 <math>F = \nabla u</math>이다.
* 헬름홀츠 정리의 조건을 만족하는 벡터함수 <math>F(R)</math>의 발산이 0이면 어떤 벡터 함수 <math>W(R)</math>가 존재하여 <math>F = \nabla \times W</math>이다.
이 두 따름정리는 임의 스칼라 함수에 기울기를 취하고 회전을 취하면 0이 되며, 임의 벡터 함수에 회전을 취하고 발산을 취하면 0이 된다는 관계식으로부터, 헬름홀츠 정리를 적용하여 곧바로 얻어진다.

이 따름정리들의 가장 중요하면서도 기본적인 응용은 [[전자기학]]에서 찾아볼 수 있다. [[맥스웰 방정식]]에 의하여 각각 정전기학과 정자기학에서 [[전기장]]의 회전이 0이고 [[자기장]]의 발산이 0이라는 것으로부터 [[전위]]와 [[자기 퍼텐셜]]을 정의할 수 있는데, 이때 위의 따름정리들이 이 과정이 정당함을 보장하는 데 쓰인다.

== 같이 보기 ==
* [[발산 (벡터)|발산]]
* [[회전 (벡터)|회전]]
* [[기울기 (벡터)|기울기]]
* [[하지 분해정리]]

== 참고 문헌 ==
* Griffith, 『기초전자기학(3/e)』, 진샘미디어, 2006

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:헤르만 폰 헬름홀츠]]
[[분류:기본 정리]]