헤센베르크 행렬 문서 원본 보기

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'''헤센베르크 행렬'''(Hessenberg matrix)은 특수한 클래스의 [[정사각행렬]]이며 특히 수치 [[선형 대수학]]의 수학 하위 영역에서 고려된다. 이 행렬은 [[카를 헤센베르크]](Karl Hessenberg)의 이름을 따서 명명되었다.<ref>Biswa Nath Datta (2010) Numerical Linear Algebra and Applications, 2nd Ed., Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) {{ISBN|978-0-89871-685-6}}, p. 307</ref>

== 형식 ==
상헤센베르크 행렬(Upper Hessenberg matrix)
:<math>\begin{bmatrix}
1 & 4 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 1 & 7 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{bmatrix}</math>

하헤센베르크 행렬(Lower Hessenberg matrix)

:<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
5 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 3 & 7 \\
5 & 6 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}</math>

상헤센베르크 행렬은 역시 정사각 행렬이다. <math>H\in\mathbb{C}^{n\times n}</math>에 있는 주대각선 아래의  첫번째 대각선 다음의 항목 들은 0과 같다. 즉 <math>i>j+1</math>에서 <math>h_{ij}=0</math>이다.

:<math>H = \begin{pmatrix}
h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\
h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\
0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 &  \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn}
\end{pmatrix}</math>

유사하게, 하헤센베르크 행렬의 형태는 상헤센베르크 행렬인 정사각행렬이 정의된 바와 같이 표현될수있다.<!--또한 하헤센베르크 행렬은 그 변환이 상헤센베르크 행렬인 정사각행렬로 정의될수있다.--> 헤센베르크 행렬 중 하나만 언급되면, 일반적으로 상헤센베르크 행렬을 가리킨다.<ref>{{인용| 제목= Hessenberg-Form | 저자= | 편집자=Guido Walz | 시리즈= Lexikon der Mathematik | 판= 1 |출판사= Spektrum Akademischer Verlag | 위치=Mannheim/Heidelberg |날짜= 2000 | ISBN= 3-8274-0439-8 }}</ref>

== 속성 ==
헤센베르크 행렬과 [[삼각행렬]]의 곱은 다시 헤센베르크 행렬이다. 보다 정확하게, A가 상헤센베르크 행렬이고 T가 상삼각행렬이라면 AT와 TA는 상헤센베르크 행렬이다.

하헤센베르크 행렬 및 상헤센베르크 행렬은 [[3중대각행렬]]이다.

== 컴퓨터 프로그래밍 ==
대부분의 선형 대수 알고리즘 은 삼각 행렬에 적용 할 때 계산 작업이 훨씬 적게 소요되며, 이러한 개선은 종종 헤센베르크 행렬에도 적용된다. 선형 대수학 문제의 제약으로 인해 일반 행렬을 삼각행렬로 편리하게 축소할 수 없는 경우 헤센베르크 형식으로 축소하는 것이 종종 가장 좋은 방법일수있다. 행렬을 헤센베르크 형식으로 환원하는 것은 제한된 수의 단계 (예 : [[하우스홀더 변환]] <!--단일 단위 유사성 변환-->)를 통해 수행할 수 있다. 헤센베르크 행렬을 삼각행렬로 계속 감소시키는 것은 [[QR 분해]]을 이행하는 것과 같은 반복적인 절차를 통해 이루어질 수 있다. [[고유값]] 알고리즘에서 헤센베르크 행렬은 축소 단계와 결합된 QR분해 이행을 통해 삼각행렬로 더욱 축소 될 수 있다. 일반 행렬을 삼각행렬로 직접 축소하는 대신 일반 행렬을 헤센베르크 행렬로 축소한 다음 삼각행렬을 이용하여 더욱 줄이면 종종 고유값 문제에 대한 QR 알고리즘에 포함된 산술연산을 절약 할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[밴드 행렬]]
* [[헤센베르크의 정리]]
* [[QR 분해]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [http://mathworld.wolfram.com/HessenbergMatrix.html 매스월드]

[[분류:행렬]]