허용 관계 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[보편 대수학]]과 [[격자 이론]]에서 '''허용 관계'''({{llang|en|tolerance relation}})는 [[대수 구조]]의 연산과 호환되는 [[반사 관계|반사]] [[대칭 관계]]이다. 즉, [[합동 관계]]에서 [[추이적 관계|추이성]] 조건을 없애 얻는 개념이다. 허용 관계에 대한 몫 대수는 [[합동 관계]]에 대한 몫 대수를 일반화한다. [[합동 관계]]와 달리, 허용 관계에 대한 몫 대수는 존재하지 않을 수 있으며, 몫 대수는 (만약 존재한다면) 항등식들을 보존할 필요가 없다.

== 정의 ==
[[대수 구조]] 위의 허용 관계는 통상적으로 모든 연산들과 호환되는 [[반사 관계|반사]] [[대칭 관계]]로 정의되며, 특별한 조건을 만족시키는 [[덮개 (위상수학)|덮개]]로 정의할 수도 있다. 이 두 정의는 서로 [[동치]]이다. 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위의 허용 관계들은 포함 관계에 따라 [[대수적 격자]] <math>\operatorname{Tolr}(A)</math>를 이룬다. [[합동 관계]] 격자 <math>\operatorname{Cong}(A)</math>는 허용 관계 격자 <math>\operatorname{Tolr}(A)</math>의 부분 순서 집합이지만, 부분 격자일 필요는 없다.<ref name="ChajdaRadeleczki">{{저널 인용|이름1=Ivan|성1=Chajda|이름2=Sándor|성2=Radeleczki|제목=Notes on tolerance factorable classes of algebras|언어=en|저널=Acta Scientiarum Mathematicarum|권=80|호=3-4|쪽=389–397|날짜=2014|issn=0001-6969|doi=10.14232/actasm-012-861-x|mr=3307031|zbl=1321.08002|s2cid=85560830}}</ref>

=== 이항 관계를 통한 정의 ===
부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위의 '''허용 관계'''는 다음 조건을 만족시키는 <math>A</math> 위의 [[이항 관계]] <math>\sim</math>이다.
* ([[반사 관계|반사성]]) 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a\sim a</math>
* ([[대칭 관계|대칭성]]) 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, 만약 <math>a\sim b</math>라면, <math>b\sim a</math>
* (연산과의 호환) <math>\{(a,b)\colon a\sim b\}</math>는 두 <math>A</math>의 [[직접곱]] <math>A^2</math>의 부분 대수이다. 즉, 임의의 <math>n</math>항 연산 <math>f\in F</math> 및 <math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in A</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여 <math>a_i\sim b_i</math>라면, <math>f_A(a_1,\dots,a_n)\sim f_A(b_1,\dots,b_n)</math>.
'''[[합동 관계]]'''는 [[추이적 관계|추이적]] 허용 관계이다.

=== 덮개를 통한 정의 ===
부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위의 '''허용 관계'''는 다음 조건들을 만족시키는 <math>A</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal C\subseteq\mathcal P(A)</math>이다.<ref name="ChajdaNiederle">{{저널 인용|이름1=Ivan|성1=Chajda|이름2=Josef|성2=Niederle|이름3=Bohdan|성3=Zelinka|제목=On existence conditions for compatible tolerances|언어=en|저널=Czechoslovak Mathematical Journal|권=26|호=101|쪽=304–311|날짜=1976|issn=0011-4642|doi=10.21136/CMJ.1976.101403|mr=0401561|zbl=0333.08006|id={{eudml|12943}}}}</ref>{{rp|307, Theorem 3}}
* 임의의 <math>C\in\mathcal C</math> 및 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal C</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle C\subseteq\bigcup\mathcal S</math>라면, <math>\textstyle\bigcap\mathcal S\subseteq C</math>이다.
** 특히, <math>\mathcal C</math>의 서로 다른 두 원소는 서로를 포함하지 않는다. (이 사실은 <math>\mathcal S=\{D\}</math>를 취하여 얻는다.)
* 임의의 <math>S\subseteq A</math>에 대하여, 만약 <math>S</math>가 <math>\mathcal C</math>의 원소의 [[부분 집합]]이 아니라면, <math>\mathcal C</math>의 원소의 [[부분 집합]]이 아닌 두 원소 집합 <math>\{s,t\}\subseteq S</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>n</math>항 연산 <math>f\in F</math> 및 <math>C_1,\dots,C_n\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>f_A[C_1\times\cdots\times C_n]\subseteq f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)</math>인 <math>f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)\in\mathcal C</math>가 존재한다. (이러한 <math>f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)</math>는 일반적으로 유일하지 않다.)
[[집합의 분할]]은 정의의 처음 두 조건을 만족시키지만, 그 역은 성립하지 않는다. '''[[합동 관계]]'''는 [[집합의 분할]]을 이루는 허용 관계이다.

=== 두 정의의 동치 ===
[[이항 관계]]로서의 허용 관계와 [[덮개 (위상수학)|덮개]]로서의 허용 관계의 정의는 서로 [[동치]]이다. 구체적으로, 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위의 [[이항 관계]] <math>\sim</math>가 허용 관계라고 하자. <math>A/{\sim}</math>이 다음 조건을 만족시키는 [[극대 원소|극대]] [[부분 집합]] <math>C\subseteq A</math>들의 집합이라고 하자.
* 임의의 <math>c,d\in C</math>에 대하여, <math>c\sim d</math>
[[그래프 이론]]의 용어를 사용하면, <math>A/{\sim}</math>은 [[그래프 (그래프 이론)|그래프]] <math>(A,\sim)</math>의 [[극대 클릭]]들의 집합이다. [[합동 관계]]의 경우 이는 단순히 [[동치류]]들의 [[몫집합]]이다. 그렇다면, <math>A/{\sim}</math>는 <math>A</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]이며, 덮개로서 허용 관계를 이룬다. (덮개 정의의 마지막 조건은 [[초른 보조정리]]를 사용하여 보일 수 있다.) 반대로, 허용 관계를 이루는 <math>(A,F_A)</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여
:<math>a\sim_{\mathcal C}b\iff\exist C\in\mathcal C\colon a,b\in C</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>\sim_{\mathcal C}</math>는 [[이항 관계]]로서 허용 관계를 이룬다. <math>{\sim}\mapsto A/{\sim}</math>과 <math>\mathcal C\mapsto{\sim_{\mathcal C}}</math>는 [[이항 관계]]로서의 허용 관계들과 [[덮개 (위상수학)|덮개]]로서의 허용 관계들 사이의 [[일대일 대응]]이며, 서로 [[역함수]]이다. 따라서 두 정의는 서로 [[동치]]이다. 허용 관계가 [[이항 관계]]로서 [[동치 관계]]인 것은 [[덮개 (위상수학)|덮개]]로서 [[집합의 분할]]인 것과 [[동치]]이다. 즉, [[합동 관계]]의 두 가지 정의도 서로 일치한다.

=== 허용 관계에 대한 몫 대수 ===
부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위에 허용 관계 <math>\sim</math>이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 <math>n</math>항 연산 <math>f\in F</math> 및 <math>C_1,\dots,C_n\in A/{\sim}</math>에 대하여,
:<math>f_A[C_1\times\cdots\times C_n]\subseteq f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)</math>
인 <math>f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)</math>이 유일하게 존재한다면, 이는 자연스럽게 <math>(A,F_A)</math>의 <math>\sim</math>에 대한 '''몫 대수'''
:<math>(A/{\sim},F_{A/{\sim}})</math>
를 정의한다. [[합동 관계]]의 경우, 이러한 유일성 조건은 항상 만족되며, 정의된 몫 대수는 통상적인 몫 대수와 일치한다.

부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''허용 몫 가능 다양체'''({{llang|en|tolerance factorable variety}})라고 한다.
* 임의의 <math>(A,F_A)\in\mathcal V</math> 및 허용 관계 <math>\sim</math> 및 <math>n</math>항 연산 <math>f\in F</math> 및 <math>C_1,\dots,C_n\in A/{\sim}</math>에 대하여, <math>f_A[C_1\times\cdots\times C_n]\subseteq f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)</math>인 유일한 <math>f_{A/{\sim}}(C_1,\dots,C_n)</math>이 존재한다. (따라서, 몫 대수 <math>(A/{\sim},F_{A/{\sim}})</math>가 존재한다.)

부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math>가 다음 두 조건을 만족시키면, '''강하게 허용 몫 가능 다양체'''({{llang|en|strongly tolerance factorable variety}})라고 한다.
* 허용 몫 가능 다양체이다.
* 임의의 <math>(A,F_A)\in\mathcal V</math> 및 허용 관계 <math>\sim</math>에 대하여, <math>(A/{\sim},F_{A/{\sim}})\in\mathcal V</math>

모든 강하게 허용 몫 가능 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

== 성질 ==
만약 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math>가 멱등 대수 구조라면 (<math>\forall f\in F\forall a\in A\colon f_A(a,\dots,a)=a</math>), 임의의 허용 관계 <math>\sim</math> 및 <math>C\in A/{\sim}</math>에 대하여, <math>C</math>는 <math>A</math>의 부분 대수이다.<ref name="ChajdaNiederle"/>{{rp|308, Theorem 4}}
{{증명}}
임의의 <math>n</math>항 연산 <math>f\in F</math> 및 <math>c_1,\dots,c_n\in C</math>에 대하여, <math>f_A(c_1,\dots,c_n)\in C</math>를 보이면 된다. 임의의 <math>c\in C</math>에 대하여, <math>c_i\sim c</math>(<math>i=1,\dots,n</math>)이므로,
:<math>c=f_A(c,\dots,c)\sim f_A(c_1,\dots,c_n)</math>
이다. <math>C</math>의 극대성에 따라, <math>f_A(c_1,\dots,c_n)\in C</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 존재 ===
부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>|A|\ge 3</math>
* <math>(A,F_A)</math>의 연산의 값이 될 수 없는 원소 <math>a\in A</math>가 존재한다.
그렇다면, <math>(A,F_A)</math> 위에 [[합동 관계]]가 아닌 허용 관계가 존재한다.<ref name="ChajdaNiederle"/>{{rp|310, Theorem 8}}

=== 합동 관계의 준동형 상 ===
부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 및 [[전사 함수|전사]] [[준동형]] <math>\phi\colon(A,F_A)\to(B,F_B)</math>가 주어졌다고 하자. <math>A</math> 위에 [[합동 관계]] <math>R</math>가 주어졌을 때, <math>B</math> 위에 다음 [[이항 관계]] <math>\phi(R)</math>를 정의하자.
:<math>a\sim_{\phi(R)}b\iff\exist a'\in\phi^{-1}(a)\exist b'\in\phi^{-1}(b)\colon a'\sim_Rb'\qquad(a,b\in B)</math>
그렇다면, <math>\phi(R)</math>는 <math>B</math> 위의 허용 관계이다.

강하게 허용 몫 가능 다양체 <math>\mathcal V</math>에서, 모든 허용 관계는 [[합동 관계]]의 [[준동형]]에 대한 [[상 (수학)|상]]이다.<ref name="ChajdaCzédliHalaš">{{저널 인용|이름1=Ivan|성1=Chajda|이름2=Gábor|성2=Czédli|이름3=Radomír|성3=Halaš|제목=Independent joins of tolerance factorable varieties|언어=en|저널=Algebra Universalis|권=69|호=1|쪽=83–92|날짜=2013|issn=0002-5240|doi=10.1007/s00012-012-0213-0|mr=3029971|zbl=1295.08006|arxiv=1207.1732}}</ref>

== 예 ==
=== 집합 ===
[[집합]]은 <math>F=\varnothing</math>인 [[대수 구조]]이다. [[집합]] 위의 허용 관계는 단순히 [[반사 관계|반사]] [[대칭 관계]]가 된다. 따라서, [[집합]]의 다양체는 자명하게 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]] 위에서, 모든 허용 관계는 [[합동 관계]]이다. 특히, [[환 (수학)|환]], [[벡터 공간]], [[가군]], [[불 대수]] 등의, 일부 연산을 잊었을 때 [[군 (수학)|군]]을 이루는 [[대수 구조]]들 위에서도 마찬가지다.<ref name="Schein">{{저널 인용
|이름1=Boris M.
|성1=Schein
|제목=Semigroups of tolerance relations
|url=https://archive.org/details/sim_discrete-mathematics_1987-04_64_2-3/page/n144
|언어=en
|저널=Discrete Mathematics
|권=64
|쪽=253–262
|날짜=1987
|issn=0012-365X
|doi=10.1016/0012-365X(87)90194-4
|mr=0887364
|zbl=0615.20045
}}</ref>{{rp|261–262}} 따라서, 이들의 다양체가 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다는 사실 역시 자명하다.

=== 격자 ===
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math> 위에 허용 관계 <math>\sim</math>이 주어졌을 때, <math>L/{\sim}</math>의 모든 원소는 <math>L</math>의 [[볼록 부분 격자]]를 이룬다. 따라서, 임의의 <math>A\in L/{\sim}</math>에 대하여,
:<math>A=\mathop\uparrow A\cap\mathop\downarrow A</math>
이다. 특히,
* <math>a\sim b</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>a\vee b\sim a\wedge b</math>이다.
* 만약 <math>a\sim b</math>이며, <math>a\le c,d\le b</math>라면, <math>c\sim d</math>이다.
{{증명}}
만약 <math>a\sim b</math>라면,
:<math>a\vee b=(a\vee b)\wedge a\sim (a\vee a)\wedge b=a\wedge b</math>
이다. 반대로, 만약  <math>a\vee b\sim a\wedge b</math>라면,
:<math>a=a\vee(a\wedge b)\sim a\vee(a\vee b)=a\vee b</math>
이며, 마찬가지로
:<math>b\sim a\vee b</math>
이다. 따라서,
:<math>a=a\wedge(a\vee b)\sim(a\vee b)\wedge b=b</math>
이다.

만약 <math>a\sim b</math>이며, <math>a\le c,d\le b</math>라면,
:<math>c=b\wedge c\sim a\wedge c=a</math>
이며, 마찬가지로
:<math>d\sim a</math>
이다. 따라서,
:<math>c=a\vee c\sim d\vee a=d</math>
이다.

모든 격자는 멱등 대수 구조이므로, 임의의 <math>A\in L/{\sim}</math>은 <math>L</math>의 부분 격자이다. 이제, <math>a,b\in A</math>, <math>c\in L</math>이며, <math>a\le c\le b</math>라고 하자. <math>A</math>의 극대성에 따라, <math>c\in A</math>를 보이려면, 임의의 <math>d\in A</math>에 대하여 <math>c\sim d</math>임을 보이는 것으로 족하다.
:<math>a\wedge d\le c\wedge d\le c\vee d\le b\vee d</math>
이므로,
:<math>a\wedge d\sim b\vee d</math>
를 보이면 족하다. <math>A</math>가 부분 격자이므로, <math>a\wedge d,b\vee d\in A</math>이며, 따라서 <math>a\wedge d\sim b\vee d</math>이다.
{{증명 끝}}

[[격자 (순서론)|격자]]의 다양체는 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다. 즉, [[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee_L,\wedge_L)</math> 위에 허용 관계 <math>\sim</math>이 주어졌을 때, 임의의 <math>A,B\in L/{\sim}</math>에 대하여,
:<math>\{a\vee_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee_{L/{\sim}}B</math>
:<math>\{a\wedge_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge_{L/{\sim}}B</math>
인 유일한 <math>A\vee_{L/{\sim}}B,A\wedge_{L/{\sim}}B\in L/{\sim}</math>이 존재하며, 또한 몫 대수
:<math>(L/{\sim},\vee_{L/{\sim}},\wedge_{L/{\sim}})</math>
는 다시 [[격자 (순서론)|격자]]를 이룬다.<ref name="Czédli">{{저널 인용
|이름=Gábor
|성=Czédli
|제목=Factor lattices by tolerances
|url=https://archive.org/details/sim_acta-scientiarum-mathematicarum_1982_44_1-2/page/n36
|언어=en
|저널=Acta Scientiarum Mathematicarum
|권=44
|쪽=35–42
|날짜=1982
|issn=0001-6969
|mr=0660510
|zbl=0484.06010
}}</ref><ref name="GrätzerWenzel">{{저널 인용
|이름1=George
|성1=Grätzer
|이름2=G. H.
|성2=Wenzel
|제목=Notes on tolerance relations of lattices
|언어=en
|저널=Acta Scientiarum Mathematicarum
|권=54
|호=3-4
|쪽=229–240
|날짜=1990
|issn=0001-6969
|mr=1096802
|zbl=0727.06011
}}</ref><ref name="Grätzer">{{서적 인용
|이름1=George
|성1=Grätzer
|제목=Lattice Theory: Foundation
|언어=en
|출판사=Springer
|위치=Basel
|날짜=2011
|isbn=978-3-0348-0017-4
|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1
|mr=2768581
|zbl=1233.06001
|lccn=2011921250
}}</ref>{{rp|44, Theorem 22}}
{{증명|부제=<math>L/{\sim}</math>은 대수}}
임의의 <math>A,B,C\in L/{\sim}</math>에 대하여 다음 네 명제를 보이는 것으로 족하다. (첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째 명제는 서로 쌍대이므로, 첫 번째와 세 번째만을 증명한다.)
* 만약 <math>\mathop\uparrow A=\mathop\uparrow B</math>라면, <math>A=B</math>이다.
* 만약 <math>\mathop\downarrow A=\mathop\downarrow B</math>라면, <math>A=B</math>이다.
* 만약 <math>\{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C</math>라면, <math>\mathop\uparrow C=\mathop\uparrow A\cap\mathop\uparrow B</math>이다.
* 만약 <math>\{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C</math>라면, <math>\mathop\downarrow C=\mathop\downarrow A\cap\mathop\downarrow B</math>이다.
첫 번째 명제의 증명. <math>U=(\mathop\downarrow A\vee_{\operatorname{Ideal}(L)}\mathop\downarrow B)\cap\mathop\uparrow A=(\mathop\downarrow A\vee_{\operatorname{Ideal}(L)}\mathop\downarrow B)\cap\mathop\uparrow B</math>라고 하자 (<math>\vee_{\operatorname{Ideal}(L)}</math>는 [[순서 아이디얼]] 격자에서의 [[상한]]). <math>A=\mathop\uparrow A\cap\mathop\downarrow A</math>, <math>B=\mathop\uparrow B\cap\mathop\downarrow B</math>이므로, <math>A\subseteq U</math>, <math>B\subseteq U</math>이다. <math>A</math>와 <math>B</math>의 극대성에 따라, 임의의 <math>u,u'\in U</math>에 대하여 <math>u\sim u'</math>임을 보이면 족하다. <math>u\le a\vee b</math>, <math>u'\le a'\vee b'</math>, <math>a,a'\in A</math>, <math>b,b'\in B</math>이며, <math>x=u\wedge u'\wedge a\wedge a'\wedge b\wedge b'</math>라고 하자. <math>x\le u,u'\le a\vee a'\vee b\vee b'</math>이므로, <math>x\sim a\vee a'\vee b\vee b'</math>를 보이면 족하다. <math>x\le a,b</math>이므로 <math>x\in\mathop\downarrow A\cap\mathop\downarrow B</math>이다. 또한, <math>u,u',a,a'\in\mathop\uparrow A</math>, <math>u,u',b,b'\in\mathop\uparrow B</math>, <math>\mathop\uparrow A=\mathop\uparrow B</math>이므로 <math>x\in\mathop\uparrow A=\mathop\uparrow B</math>이다. 따라서, <math>x\in A\cap B</math>이다. <math>a\vee a'\in A</math>, <math>b\vee b'\in B</math>이므로 <math>x\sim a\vee a'</math>, <math>x\sim b\vee b'</math>이며, 따라서 <math>x\sim a\vee a'\vee b\vee b'</math>이다.

세 번째 명제의 증명. 우선, <math>\mathop\uparrow A\cap\mathop\uparrow B=\mathop\uparrow\{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq\mathop\uparrow C</math>이다. 이제, 임의의 <math>c\in C</math>에 대하여 <math>c\in\mathop\uparrow A\cap\mathop\uparrow B</math>임을 보이면 족하다. <math>c\not\in\mathop\uparrow A</math>라고 가정하자. 임의의 <math>a\in A</math>와 <math>b\in B</math>를 취하자. 임의의 <math>x\in A</math>에 대하여, <math>x\vee a\vee b,c\in C</math>이므로 <math>x\vee a\vee b\sim c</math>이며, <math>x,a\in A</math>이므로 <math>x\vee a\sim x\wedge a</math>이다. 따라서, <math>x\vee a\sim x\wedge a\wedge c</math>이다. <math>x\vee a\ge x,a\wedge c\ge x\wedge a\wedge c</math>이므로, <math>x\sim a\wedge c</math>이다. <math>A</math>의 극대성에 따라, <math>a\wedge c\in A</math>이며, 따라서 <math>c\in\mathop\uparrow(a\wedge c)\subseteq\mathop\uparrow A</math>이다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=<math>L/{\sim}</math>은 격자}}
위 증명에 따라, [[필터 (수학)|필터]] 격자와 [[순서 아이디얼]] 격자로 가는 자연스러운 단사 함수
:<math>\uparrow\colon L/{\sim}\to\operatorname{Filter}(L)</math>
:<math>\downarrow\colon L/{\sim}\to\operatorname{Ideal}(L)</math>
가 존재하며, 항상
:<math>\mathop\uparrow(A\vee_{L/{\sim}}B)=\mathop\uparrow A\cap\mathop\uparrow B=\mathop\uparrow A\wedge_{\operatorname{Filter}(L)}\mathop\uparrow B</math>
:<math>\mathop\downarrow(A\wedge_{L/{\sim}}B)=\mathop\downarrow A\cap\mathop\downarrow B=\mathop\downarrow A\wedge_{\operatorname{Ideal}(L)}\mathop\downarrow B</math>
가 성립한다. 따라서, <math>(L/{\sim},\vee_{L/{\sim}})</math>과 <math>(L/{\sim},\wedge_{L/{\sim}})</math>은 각각 [[가환 반군]] <math>(\operatorname{Filter}(L),\wedge_{\operatorname{Filter}(L)})</math> 및 <math>(\operatorname{Ideal}(L),\wedge_{\operatorname{Ideal}(L)})</math>의 부분 반군과 [[동형]]이다 ([[격자 (순서론)|격자]]로서의 [[동형]]일 필요는 없다). 이제, 흡수 법칙을 보이는 일만 남았다. 쌍대성에 따라 두 흡수 법칙 가운데 하나
:<math>A\vee_{L/{\sim}}(A\wedge_{L/{\sim}}B)=A</math>
만을 보여도 좋다. <math>\wedge_{L/{\sim}}</math>의 정의에 따라
:<math>\mathop\uparrow(A\wedge_{L/{\sim}}B)\supseteq\mathop\uparrow\{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}=\mathop\uparrow A\vee_{\operatorname{Filter}(L)}\mathop\uparrow B\supseteq\mathop\uparrow A</math>
이므로,
:<math>\mathop\uparrow(A\vee_{L/{\sim}}(A\wedge_{L/{\sim}}B))=\mathop\uparrow A\cap\mathop\uparrow(A\wedge_{L/{\sim}}B)=\mathop\uparrow A</math>
이다. 따라서 위 흡수 법칙은 참이다.
{{증명 끝}}

특히, [[분배 격자]]와 [[모듈러 격자]]는 임의의 허용 관계에 대하여 몫 격자를 취할 수 있다. 그러나, 이러한 몫 격자가 다시 [[분배 격자]]나 [[모듈러 격자]]가 될 필요는 없다. 즉, [[분배 격자]]의 다양체와 [[모듈러 격자]]의 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 강하게 허용 몫 가능 다양체가 아니다.<ref name="Czédli" />{{rp|40}}<ref name="ChajdaRadeleczki"/> 사실, 격자 다양체의 모든 부분 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 격자 다양체의 강하게 허용 몫 가능 부분 다양체는 격자 다양체 전체와 자명한 (한 원소 격자로 구성된) 부분 다양체밖에 없다. 이는 모든 [[격자 (순서론)|격자]]는 두 원소 격자들의 [[직접곱]]의 부분 격자의 허용 관계에 대한 몫 격자의 부분 격자와 [[동형]]이기 때문이다.<ref name="Czédli" />{{rp|40, Theorem 3}}

[[상대 여원 격자]] 위의 모든 허용 관계는 [[합동 관계]]이다.<ref name="ChajdaNiederle"/>{{rp|308, Theorem 5}} 반대로, 모든 허용 관계가 [[합동 관계]]인 [[분배 격자]]는 [[상대 여원 격자]]이다.<ref name="ChajdaNiederle"/>{{rp|310, Corollary 2}}

모든 크기 3 이상의 [[격자 (순서론)|격자]]는, [[합동 관계]]가 아닌 허용 관계가 존재하는 부분 격자를 갖는다.<ref name="ChajdaNiederle"/>{{rp|308, Corollary 1}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:보편대수학]]
[[분류:격자 이론]]