허수 단위 문서 원본 보기

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[[파일:ImaginaryUnit5.svg|섬네일|right|[[복소 평면]]에서의 <math>\ i</math>.  실수는 수평선에 놓이고, 허수는 수직선 위에 위치한다.]]
'''허수 단위'''(imaginary unit 또는 unit imaginary number) <math>i</math>는 제곱해서 [[-1]]이 되는 [[복소수]]를 말한다. 즉 [[이차 방정식]] <math>x^2 + 1 = 0</math>을 만족하는 근 <math>x</math> 중 하나인 <math>\sqrt{-1}</math>를 <math>i</math>라 표기한다. 이러한 성질을 만족하는 [[실수]]는 존재하지 않으므로 <math>i</math>를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다.(한편, 어떤 사람은 <math>-1^2=-1</math>이므로 <math>i=-1</math>라고 말하는 사람도 있는데, 이는 틀린 표현이다.) 이때 확장된 [[덧셈]]과 [[곱셈]]은 여전히 [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]], 그리고 [[분배 법칙]]을 만족함을 알 수 있다. 복소수에서는 상수 아닌 모든 다항식이 적어도 한 개의 근을 가진다는 사실이 알려져 있다([[대수적으로 닫힌 체]] 또는 [[대수학의 기본 정리]] 참조).

제곱해서 <math>-1</math>이 되는 복소수는 두 개, 즉 <math>i</math>와 <math>-i</math>가 있다. 따라서 영 아닌 모든 실수는 두 개의 복소수 제곱근을 갖는다. 한편 영은 한 개의 [[제곱근]]만을 갖는다.

[[전자공학]] 등의 분야에서는 [[전류]]의 기호로 <math>i</math>를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 <math>j</math>로 표기하는 경우도 있다.

또한, <math>i</math>는 정확한 [[숫자|수]]로 표현할 수 없다.(그것은 <math>i</math>의 순서를 정할 수 없기 때문이다.)

== 정의 ==
허수 <math>i</math>는 다음과 같이 제곱해서 <math>-1</math>이 되는 수로 정의한다.
: <math>i^{2}=-1</math>   또는 <math>i= \sqrt{-1}</math>
위의 정의로부터 간단한 계산을 통하여 <math>i</math>와
<math>-i</math> 모두 <math>-1</math>의 제곱근임을 알 수 있다. 그러나 '''제곱근 -1'''이라는 표현은 어디에서도 찾아볼 수 없다. <math>i</math>와 <math>-i</math> 중에서 [[양수 (수학)|양수]]를 찾아야 하는데 [[순서체]]는 [[실수]]에서만 정의되기 때문이다.(정확하게, '''-1의 제곱근'''이라는 표현도 쓸 수 없다. [[일상생활]]에서는 [[허수]]나 [[허수단위]]라고 하면 된다.)

직관적으로 허수를 받아 들이기에 실수보다 어렵지만
수학의 관점에서 허수를 만드는 과정은 완벽하다.
수식을 다룰 때 <math>i</math>를 미지수로 여기고,
<math>i^2</math>이 나타나면 정의를 이용하여 <math>-1</math>로
바꾸는 것을 통해 실수의 연산을 허수 그리고 복소수로 확장할 수 있다.
<math>i</math>의 세제곱, 네제곱, 다섯제곱 등은 다음과 같이 바꿀 수 있다.
: <math>i^{3}=i^{2}i = (-1) i = -i</math>
: <math>i^{4}=i^{3}i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1</math>
: <math>i^{5}=i^{4}i = (1) i = i</math>
또한, 임의의 0이 아닌 실수처럼 다음이 성립한다.
: <math>i^{0}=i^{1-1} =  i^1 i^{-1} = i^1  \frac{1}{i} = i \frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1</math>

복소수로서 <math>i</math>를 [[데카르트 좌표계|직교 형식]]으로 나타내면 <math>0+i</math>로
1 단위의 허수 성분을 갖고 실수 성분은 영이다.
[[극좌표계|극 형식]]으로 <math>i</math>를 나타내면 <math>1 e^{i \pi /2}</math>이다.
즉, [[절대값]](또는 크기)가 <math>1</math>이고 [[편각]](또는 각)이 <math>{\pi}/{2}</math>이다.
[[복소 평면]]에서 <math>i</math>는 원점으로부터 허수 축(실수 축과 직각을 이루는)을
따라 <math>1</math> 단위의 위치에 있는 점이다.

== {{앵커|i 그리고 -i}} {{mvar|i}} 그리고 {{math|−''i''}} ==
이차 방정식 <math>x^{2}=-1</math>은 중근을 갖지 않고 서로 다른 두 근을 갖는다.
이 두 근은 동등한 자격을 가지고 각각이 서로 다른 근의 덧셈과 곱셈의 역원이다.
좀 더 정확하게 방정식의 한 근 <math>i</math>가 주어지면 <math>i</math>와는 다른 값인 <math>-i</math>도
근이 된다.
방정식이 <math>i</math>의 정의로 주어졌기 때문에 <math>i</math>의 정의는
모호해 보인다(정확하게는 잘 정의된 것이 아니다).
그러나, 근 중의 하나를 골라 <math>i</math>라 하고 다른 근을 <math>-i</math>라 하면
모호함이 사라진다.
이러한 이유는 <math>-i</math>와 <math>i</math>가 양적으로 똑같지는 않지만(두 수는 각각 서로 다른 수의 음수),
<math>-i</math>와 <math>i</math>를 대수적으로 구별할 수 없기 때문이다.
두 허수는 제곱해서 <math>-1</math>이 되는 수로서 동등한 자격을 갖는다.

== 성질 ==
* <math>i^{4n+1}=i</math>
* <math>i^{4n+2}=-1</math>
* <math>i^{4n+3}=-i</math>
* <math>i^{4n}=1</math> (이상, n은 정수)
* <math>\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)</math>
* <math>\sqrt{-i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)</math>

== [[오일러 공식]] ==

허수 단위를 [[자연로그의 밑|e]]의 [[지수]]에 넣었을 때의 값을 계산하는 공식이 있다. 이를 [[오일러 공식]]이라 한다. [[오일러 공식]]은 다음과 같다.
: <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>
그로부터 다음과 같은 공식도 얻을 수 있다.
: <math>x^{i\theta} = \cos({\theta \ln x}) + i\sin({\theta \ln x})</math>
: <math>\sqrt[i\theta]{x} = x^{{1} \over {i\theta}} = \cos({{\ln x}\over{\theta }}) - i\sin({{\ln x}\over{\theta}})</math>

== 계승 ==
허수 단위 <math>i</math>에 대한 [[계승 (수학)]] <math>i!</math>은 [[감마 함수]]로 표현될 수 있다.
: <math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i</math>
<math>i!</math>의 [[절댓값]]은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: <math>\left \vert i! \right \vert = \sqrt{\pi \over {\sinh \pi}}</math>

== i의 i제곱 ==

[[오일러 공식]]
:<math>e^{i\theta}=\cos(\theta)+i \sin(\theta)</math>
에 <math>\theta=\frac{\pi}{2}+2\pi n</math> (여기서 n은 [[정수]])를 대입하면
:<math>e^{i(\frac{\pi}{2}+2\pi n)}=\cos(\frac{\pi}{2}+2\pi n))+i\sin(\frac{\pi}{2}+2\pi n))=0+1i=i</math>
이 된다. 이제 양변에 i제곱을 취하면 [[거듭제곱#연산_법칙|지수법칙]]에 의해
:<math>i^i=e^{i\cdot i(\frac{\pi}{2}+2\pi n))}</math>
이라고 할 수 있다.([[복소수]]에서 [[거듭제곱#연산_법칙|지수법칙]]을 사용하기 위해서는 보다 엄밀한 논증을 거쳐야 하지만, 이곳에서는 그냥 넘어가기로 한다.)

정의에 의해 <math>i\cdot i=-1</math>이므로,
:<math>i^i=e^{-\frac{\pi}{2}-2\pi n}</math>
을 얻는다.

여기에 [[분지점|주 분지]]인 <math>n=0</math>을 대입한다면, <math>i^i</math>의 수치적 값은 다음과 같이 계산된다.
:<math>i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}\approx 0.207879576...</math> {{OEIS|id=A049006}}

모든 가능한 [[분지점|분지]]에 대해, <math>i^i</math>의 값은 [[실수]]이며, 또한 [[초월수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[복소수]]

{{수학 상수}}
[[분류:복소수]]
[[분류:대수적 수]]
[[분류:수학 상수]]