행렬 분해 문서 원본 보기

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'''행렬 분해'''(行列分解, {{llang|en|matrix decomposition}})는 [[행렬]]을 특정한 구조를 가진 다른 행렬의 곱으로 나타내는 것을 의미한다. 행렬분해는 선형 방정식의 해를 구하거나, 행렬 계산을 효율적으로 하거나, 행렬의 특정 구조를 밝히는 등의 목적으로 사용된다.

== 응용 ==
수치 해석에서 효율적인 행렬 알고리즘(매트릭스 알고리즘)을 구현하기 위해 같은 대상의 행렬일지라도 상황에따른 각기 다른 분해가 사용된다.

예를 들어, 선형 연립 방정식 <math>Ax=b</math>의 시스템을 풀 때 행렬 A는 [[LU 분해]]를 통해 분해 될 수 있다. LU 분해는 행렬을 [[삼각행렬|하부 삼각 행렬]] L 및 [[삼각행렬|상부 삼각 행렬]] U로 분해한다. 시스템 <math>L(Ux)=b</math> 및 <math>Ux=L^{-1}b</math>은 원래 시스템 <math>Ax=b</math>와 비교할 때,<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LUDecomposition.html 매스월드]</ref> 더 적은 수의 덧셈과 곱셈을 필요로하지만 [[부동소수점|부동 소수점]]과 같은 부정확하고 복잡한 연산에서 훨씬 더 많은 자릿수의 데이터가 계산과정에서 요구될 수 있다.

한편, [[QR 분해]]는 Q를 [[직교 행렬]]로 해서, QR을 A로 표현하고, R은 [[삼각행렬|상 삼각 행렬]]을 표현한다. 시스템 Q (Rx) = b는 Rx = Q<sup>T</sup>b = c에 의해 해결되고 시스템 Rx = c는 [[삼각행렬#후진대입|후진대입]](back substitution)에 의해 해결된다.<ref>[http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=5054 정보통신기술용어해설]</ref> 필요한 추가 및 곱셈의 수는 LU 분해를 사용하는 것의 약 두 배이지만, QR 분해가 수치적으로 안정하므로 부동 소수점과 같은 연산에서 더 이상 부수적인 데이터가 필요하지는 않게된다.

== 선형 방정식과 관련한 분해 ==
* [[LU 분해]]
* [[QR 분해]]
* [[계수 인수분해]]
* [[촐레스키 분해]]

== 고윳값에 근거한 분해 ==
* [[고유값 분해]]
* [[조르단 표준형|조르단 분해]]
* [[슈어 분해]]
* [[QZ 분해]]
* [[특잇값 분해]]
* [[다카기 분해]](高木 decomposition)

== 다른 분해 방법들 ==
* [[극분해]]
* [[모스토우 분해]]
* [[싱크혼 일반 형식]]
* [[윌리엄슨 일반 형식]]
* [[비음수 행렬 분해]]

== 같이 보기 ==
* [[행렬의 인수분해]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [https://web.archive.org/web/20081212221215/http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ Bluebit Software]
* (매스월드)[http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix+decomposition&rawformassumption=%7B%22C%22,+%22matrix+decomposition%22%7D+-%3E+%7B%22Calculator%22%7D&rawformassumption=%7B%22MC%22,%22%22%7D-%3E%7B%22Formula%22%7D Wolfram Alpha Matrix Decomposition Computation » LU and QR Decomposition]
* (springer.com ,[http://euro-math-soc.eu/ European Mathematical Society] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20181110003850/http://euro-math-soc.eu/}})
* [http://eom.springer.de/M/m120140.htm Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization]
* ([https://web.archive.org/web/20110314171151/http://www.graphlab.ml.cmu.edu/pmf.html GraphLab])collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.

{{선형대수학}}
{{토막글|대수학}}

[[분류:행렬 분해| ]]
[[분류:행렬]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:인수분해]]