행렬의 합동 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서, [[행렬]]의 '''합동'''(合同, {{llang|en|congruence}})은 두 행렬이 같은 [[이차 형식]]의 서로 다른 [[기저 (선형대수학)|기저]]에 대한 표현임을 나타내는 관계이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 두 <math>n\times n</math> 행렬 <math>A,B\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 [[가역 행렬]] <math>P\in\operatorname{GL}(n;K)</math>가 존재한다면, <math>A,B</math>가 서로 '''합동'''이라고 한다.
:<math>P^\top AP=B</math>
여기서 <math>(-)^\top</math>는 [[전치 행렬]]이다. 행렬의 합동은 [[동치 관계]]를 이룬다.

== 예 ==
=== 대칭 행렬 ===
[[환의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>를 원소로 하는 [[대칭 행렬]] <math>A\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>은 [[대각 행렬]]과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 <math>P\in\operatorname{GL}(n;K)</math>가 존재한다.
:<math>P^\top AP=\begin{pmatrix}
d_1\\
&\ddots\\
&&d_r\\
&&&0\\
&&&&\ddots\\
&&&&&0\end{pmatrix}\qquad(d_i\ne 0,\;0\le r\le n)</math>
0이 아닌 대각 원소의 개수 <math>r</math>는 <math>A</math>의 [[계수 (선형대수학)|계수]]와 같다.

{{증명|부제=행렬의 언어를 사용하여 서술}}
행렬의 크기에 대한 [[수학적 귀납법]]을 사용하자.

우선, <math>1\times1</math> 행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다.

이제, <math>(n-1)\times(n-1)</math> 행렬에 대하여 성립한다고 가정하고 <math>n\times n</math> 행렬 <math>A</math>에 대하여 성립함을 증명하자. [[영행렬]]은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로, <math>A\ne0</math>인 경우만을 생각하자. 그렇다면, <math>A_{ij}\ne0</math>인 <math>1\le i,j\le n</math>이 존재한다. 만약 <math>i\ne j</math>라면, <math>A</math>의 <math>i</math>번째 행에 <math>j</math>번째 열을 더한 뒤, 다시 <math>i</math>번째 열에 <math>j</math>번째 열을 더하여 얻는 행렬 <math>(I+E_{ij})^\top A(I+E_{ij})</math>은 원래 행렬과 합동이며, <math>i</math>번째 대각 원소는 <math>2A_{ii}</math>이며, 체의 표수가 2가 아니므로 <math>2A_{ii}\ne0</math>이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 <math>i=j</math>라고 할 수 있다. 만약 <math>i\ne1</math>이라면, <math>A</math>의 1번째 행과 <math>i</math>번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과 <math>i</math>번째 행을 교환하여 얻는 행렬 <math>(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})^\top A(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})</math>은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가 <math>A_{ii}\ne0</math>이므로, 일반성을 잃지 않고 <math>i=1</math>라고 할 수 있다. 즉, <math>A</math>가 <math>A_{11}\ne0</math>를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자.
:<math>P=I-\sum_{i=2}^nA_{11}^{-1}A_{i1}E_{i1}</math>
그렇다면, <math>P^\top AP</math>는 원래 행렬과 합동이며,
:<math>0=(P^\top AP)_{12}=\cdots=(P^\top AP)_{1n}=(P^\top AP)_{21}=(P^\top AP)_{n1}</math>
이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬 <math>((P^\top AP)_{ij})_{i,j=2}^n</math>은 <math>(n-1)\times(n-1)</math> 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 <math>d_2,\dots,d_n\in K</math> 및 <math>Q\in\operatorname{GL}(n-1;K)</math>가 존재한다.
:<math>Q^\top((P^\top AP)_{ij})_{i,j=2}^nQ=\operatorname{diag}(d_2,\dots,d_n)</math>
따라서, <math>A</math>는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다.
:<math>\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}^\top P^\top AP\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}</math>
::<math>=\begin{pmatrix}1\\&Q^\top\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A_{11}\\
&(P^\top AP)_{22}&\cdots&(P^\top AP)_{2n}\\
&\vdots&\ddots&\vdots\\
&(P^\top AP)_{n2}&\cdots&(P^\top AP)_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}</math>
::<math>=\begin{pmatrix}A_{11}\\&d_2\\&&\ddots\\&&&d_n\end{pmatrix}</math>
{{증명 끝}}

{{증명|부제=쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술}}
대칭 쌍선형 형식 <math>B\colon V\times V\to K</math>가 있다고 하자. 증명하려는 바는 <math>B(u_i,u_j)=0</math> (<math>1\le i<j\le n</math>)인 기저 <math>\{u_1,\cdots,u_n\}</math>의 존재이다.

벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

1차원의 경우는 자명하다.

<math>(n-1)</math>차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고, <math>n</math>차원의 경우에 대하여 증명하자. <math>B=0</math>인 경우는 자명하므로, <math>B\ne0</math>의 경우만을 생각하자. 이 경우, <math>B(u_1,u_1)\ne0</math>인 <math>0\ne u_1\in V</math>가 존재한다. (그렇지 않다면, <math>B(u+v,u+v)=B(u,u)+2B(u,v)+B(v,v)</math>이며 <math>K</math>의 표수가 2가 아님에 따라 <math>B=0</math>이므로 모순이다.) 그렇다면, <math>B</math>를 [[직교 여공간]]
:<math>(\operatorname{Span}\{u_1\})^\perp=\{v\in V\colon B(u_1,v)=0\}</math>
에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라, <math>B(u_i,u_j)=0</math> (<math>2\le i<j\le n</math>)인 <math>(\operatorname{Span}\{u_1\})^\perp</math>의 기저 <math>\{u_2,\dots,u_n\}</math>이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라,
:<math>0=B(u_1,u_2)=\cdots=B(u_1,u_n)</math>
이며, <math>\{u_1,\dots,u_n\}</math>는 <math>V</math>의 기저를 이룬다.
{{증명 끝}}

{{증명|부제=이차 형식의 언어를 사용하여 서술}}
이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다.

체 <math>K</math>의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\qquad(a_{ij}=a_{ji}\in K)</math>
이차 형식의 변수의 개수 <math>n</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 사용하자.

1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다.

<math>(n-1)</math>변수에 대하여 성립한다고 가정하고 <math>n</math>변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고 <math>a_{11}\ne0</math>라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다.
:<math>\begin{align}
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j
&=a_{11}x_1^2+2x_1\sum_{j=2}^na_{1j}x_j+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\\
&=a_{11}\left(x_1^2+2a_{11}^{-1}x_1\sum_{j=2}^na_{1j}x_j+a_{11}^{-2}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2-a_{11}^{-2}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2\right)+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\\
&=a_{11}\left(x_1+a_{11}^{-1}\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2-a_{11}^{-1}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j
\end{align}</math>
오른쪽의
:<math>-a_{11}^{-1}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j</math>
는 <math>(n-1)</math>변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다.
:<math>x_2=\qquad b_{22}y_2+\cdots+b_{2n}y_n</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>x_n=\qquad b_{n2}y_2+\cdots+b_{nn}y_n</math>
또한, 변수 <math>y_1</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\begin{align}x_1
&=y_1-a_{11}^{-1}a_{12}x_2+\cdots+a_{11}^{-1}a_{1n}x_n\\
&=y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n
\end{align}</math>
그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다.

만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고 <math>a_{12}\ne0</math>이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환
:<math>x_1=y_1+y_2</math>
:<math>x_2=y_1-y_2</math>
:<math>x_3=y_3</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>x_n=y_n</math>
을 통해 원래의 이차 형식은
:<math>2a_{12}(y_1^2-y_2^2)+\sum_{1\le i<j\le n\colon(i,j)\ne(1,2)}a_{ij}x_ix_j</math>
로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다.
{{증명 끝}}
표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 [[기본 행 연산]]의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다.

==== 복소수 대칭 행렬 ====
[[복소수]] 대칭 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)</math>는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 <math>P\in\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>가 존재한다.
:<math>P^\top AP=\begin{pmatrix}
\left.\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle r}\\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}
\end{pmatrix}\qquad(0\le r\le n)</math>
1의 개수 <math>r</math>는 합동의 완전한 불변량이다.

==== 실수 대칭 행렬 ====
[[실수]] 대칭 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 <math>P\in\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>가 존재한다.
:<math>P^\top AP=\begin{pmatrix}
\left.\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle p}\\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\left.\begin{matrix}-1\\&\ddots\\&&-1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle q}\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}
\end{pmatrix}\qquad(0\le p,q\le p+q\le n)</math>
1의 개수 <math>p</math>와 -1의 개수 <math>q</math>는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 [[실베스터 관성 법칙]]이라고 한다.

{{증명|부제=쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술}}
대칭 쌍선형 형식 <math>B\colon V\times V\to K</math>가 다음을 만족시키는 기저 <math>\{u_1,\dots,u_n\}</math>를 갖는다고 하자.
:<math>B(u_1,u_1)=\cdots=B(u_p,u_p)=1</math>
:<math>B(u_{p+1},u_{p+1})=\cdots=B(u_r,u_r)=-1</math>
:<math>B(u_i,u_j)=B(u_{r+1},u_{r+1})=\cdots=B(u_n,u_n)=0\qquad(1\le i<j\le n)</math>
다음을 보이는 것으로 족하다.
:<math>p=\max\{\dim W\colon W\subset V,\;B(u,u)>0\forall0\ne u\in W\}</math>
우선, <math>B</math>는 <math>\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_p\}</math>에 제한시켰을 때 [[양의 정부호 형식]]이며, <math>\operatorname{Span}\{u_{p+1},\dots,u_r\}</math>에 제한시켰을 때 [[음의 정부호 형식]]임은 자명하다.

이제, <math>B|_{W\times W}</math>가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간 <math>W\subset V</math>를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Span}\{u_{p+1},\dots,u_r\}\oplus\operatorname{rad}B\oplus W</math>
이는 만약 <math>u\in\operatorname{Span}\{u_{p+1},\dots,u_r\}</math>이며 <math>v\in\operatorname{rad}B</math>이며 <math>w\in W</math>이며 <math>u+v+w=0</math>이라면,
:<math>B(u,u)\le0\le B(w,w)</math>
:<math>0=B(u-w,u+v+w)=B(u,u)-B(w,w)</math>
이므로, <math>B(u,u)=B(w,w)=0</math>이며,<math>u=w=0=v</math>이기 때문이다. 따라서 <math>p\ge\dim W</math>이다. 또한 <math>B|_{\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_p\}\times\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_p\}}</math> 역시 양의 정부호 형식이므로, <math>p</math>는 <math>B</math>의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며, <math>p</math>는 유일하다.
{{증명 끝}}

{{증명|부제=이차 형식의 언어를 사용하여 서술}}
[[귀류법]]을 사용하여, 두 이차 형식
:<math>Q(x_1,\dots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2</math>
:<math>R(y_1,\dots,y_n)=y_1^2+\cdots+y_{p'}^2-y_{p'+1}^2-\cdots-y_r^2</math>
이 서로 동치이며, <math>p>p'</math>라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자.
:<math>y_1=P_{11}x_1+\cdots+P_{n1}x_n</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>y_n=P_{1n}x_1+\cdots+P_{nn}x_n</math>
그렇다면, <math>p>p'</math>이므로, [[연립 일차 방정식]]
:<math>0=P_{11}x_1+\cdots+P_{n1}x_p</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>0=P_{1q}x_1+\cdots+P_{nq}x_p</math>
은 0이 아닌 해 <math>(x_1^{(0)},\dots,x_p^{(0)})</math>를 가진다. 이 경우,
:<math>0<Q(x_1^{(0)},\dots,x_p^{(0)},0,\dots,0)=R((x_1^{(0)},\dots,x_p^{(0)},0,\dots,0)P)\le 0</math>
이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

=== 반대칭 행렬 ===
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 [[반대칭 행렬]] <math>A\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>는 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>는 몇 개의 <math>2\times 2</math> 행렬 <math>((0,1),(-1,0))</math>과 하나의 [[영행렬]]의 [[행렬의 직합|직합]]과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 <math>P\in\operatorname{GL}(n;K)</math>가 존재한다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>{{rp|377}}
:<math>P^\top AP=\begin{pmatrix}
\left.\begin{matrix}\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}\\&\ddots\\&&\ddots\\&&&\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}\end{matrix}\right\}{\scriptstyle 2k}\\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}
\end{pmatrix}\qquad(0\le 2k\le n)</math>

== 같이 보기 ==
* [[행렬의 닮음]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Congruent matrices}}
* {{매스월드|id=CongruentMatrices|title=Congruent matrices}}
* {{proofwiki|id=Definition:Matrix Congruence|제목=Definition:Matrix congruence}}

[[분류:행렬]]
[[분류:선형대수학]]