해석 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''해석 함수'''(解析函數, {{llang|en|analytic function}})란 국소적으로(locally) [[수렴]]하는 [[멱급수]]로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 함수 <math>f</math>가 한 점 <math>x_0 </math>에서 해석적이라는 것은 그 점 근방에서의 [[테일러 급수]]가 수렴하는 것과 같은 의미이고, 정의역 <math>D </math>의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라고 한다. 일반적으로 해석 함수는 실함수와 복소 함수의 경우로 나누어 생각하며, 복소 해석 함수는 실해석 함수에 비해 수학적으로 풍부한 성질을 갖는다.

== 정의 ==
수직선 위의 [[열린 집합]] <math>D</math>에서 정의된 실함수 <math>f</math> 가 '''해석 함수'''라 함은 <math>f</math>가 <math>D</math> 안의 모든 점에서 해석적임을 말한다. 또 <math>f</math> 가 한 점 <math>x_0 \in D</math>에서 '''해석적'''이라 함은 <math>x_0</math> 근방에서 수렴하는 급수가 존재하여
:<math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n =a_0 + a_1 (x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots, \qquad a_n \in \mathbb{R}</math>
와 같이 쓸 수 있음을 뜻한다.

실해석 함수는 [[매끄러운 함수]]이며, 정의역 안의 모든 점에서의 [[테일러 급수]]는 <math>f</math> 로 수렴한다. 즉, 정의역 안의 한 점 <math>x_0 \in D</math> 근방의 모든 점 <math>x \in D</math> 에 대해
:<math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n</math>
이다.

복소 해석 함수의 정의는 위의 정의에서 수직선을 복소 평면으로, 실함수를 복소 함수로, 급수에서 <math>a_n \in \mathbb{R}</math>를 <math>a_n \in \mathbb{C}</math>로 바꾸면 된다. 다만 복소 평면에서의 [[근방]]이란 면적을 갖는 [[열린 집합]]이라는 사실에 유의해야 한다. 복소 해석 함수도 실해석 함수와 마찬가지로 무한번 [[미분가능]]하며, [[테일러 급수]]로 나타낼 수 있다. 복소 해석 함수는 [[코시-리만 방정식]]을 만족한다. 복소 평면 <math>\mathbb{C}</math> 전체에서 해석적인 함수를 특별히 '''[[전해석 함수]]'''라고 한다.

== 예 ==
기본 함수들([[다항함수]], [[삼각함수]], [[지수함수]], [[로그함수]] 등)은 수직선(또는 복소 평면)의 특정 영역에서 해석적이다. 다음은 해석 함수의 예이다.

* <math>n</math>차 [[다항함수]](실 또는 복소다항함수 모두) <math> p(x)=a_0 +a_1x + a_2 x^2 +\cdots +a_nx^n</math>는 급수 <math>\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j</math>에서 <math>j>n</math>일 때 <math>a_j=0</math>인 경우로 생각할 수 있다.

* [[지수함수]] <math>e^x</math>는 점 <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> (또는 <math>\mathbb{C}</math>)에서 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{x_0}}{n!}(x-x_0)^n </math> 로 나타낼 수 있다.

그러나 모든 함수가 해석 함수인 것은 아니다. 예를 들어 실함수 <math> f (x)=|x|</math>는 <math>x=0</math>에서 미분 가능 함수가 아니므로 해석적이지 않다. 또한 복소 함수 <math>f(z)=\overline{z}</math>는 복소 평면 위의 어떤 점에서도 해석적이지 않다.

== 같이 보기 ==
* [[정칙 함수]]
* [[매끄러운 함수]]
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:해석 함수| ]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:복소해석학]]