해석적 연속 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''해석적 연속'''(解析的連續, {{lang|en|analytic continuation}})은 주어진 [[정칙함수]]에 대한 [[정의역]]을 늘이는 방법이다. 해석적 접속 또는 확장이라고도 불린다.

== 개요 ==
[[파일:Imaginary log analytic continuation.png|316px|right|섬네일|[[자연로그]]의 [[허수]] 축에 대한 해석적 연속]]
[[복소평면]] '''C'''에서 ''f'' 가 [[열린 부분집합]] ''U''에서 정의된 [[정칙함수]]라 하자. 그리고, ''F'' 가 '''C''' 에서의 ''U''를 포함하는 더 큰 열린 부분집합인 ''V''에서 정의된 정칙함수라 하자. 이때,
:<math>\displaystyle F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U </math>
를 만족하면, ''F''는 ''f''에 대한 '''해석적 연속'''이라 한다. 다른 한편으로, ''F'' 의 ''U'' 로의 '''제한'''이 ''f'' 가 된다.

해석적 연속은 실해석에서는 성립하지 않지만 복소해석에서는 성립하는 중요한 정리인 [[항등 정리]]로부터 알 수 있는 결과이며, 따라서 해석적 연속은 '''유일성'''을 가짐을 알 수 있다.
위의 수학적 논의는, (두번째의 경우로 보자면) 자칫 ''f'' 가 무한대로 발산하는 곳에서 인위적으로 값을 주는 것으로 보일 수도 있다. 그러나, 분명 ''f''는 ''U''에서 정의된 함수임에 유의해야 한다.
즉, 해석적 연속은 ''f'' 와 ''g'' 가 각각 열린 부분집합 ''U'' 와 ''V''에 정의되어 있고 ''U'' 와 ''V'' 의 교집합(열린 부분집합)에서 두 값이 같을 때,
''U'' 와 ''V'' 의 합집합인 열린 부분집합 ''W''에서 정칙이며 ''U'' 에서는 ''f'' 의 값을 갖는 '''정칙함수 ''h'''''는, ''V'' 에서는 위의 조건을 만족하는 ''g'' 로 유일하여,
:<math> h(z)=
\begin{cases}
f(z), \qquad \forall z \in U \\
g(z), \qquad \forall z \in V
\end{cases}
</math>

임을 보여주는 정리이다. ''U''에 정의된 정칙함수 ''f'' 가 가진 좋은 성질을 유지하면서, 그보다 더 큰 정의역을 가지는 정칙 함수 ''h''를 찾을 수 있는 것이다.

해석적 연속의 한 예로, [[제타 함수]]를 복소평면 전체로 확장한 [[리만 제타 함수]]가 있다. 이때, 복소평면 전체로 확장되지 않았을 때는 [[제타 함수]]가 피적분 함수일 때 [[유수 (복소해석학)]]를 구할 수 없지만, 리만 제타 함수를 피적분 함수로 두면 유수를 통하여 적분 값을 알 수 있다.

{{토막글|수학}}

[[분류:유리형 함수]]
[[분류:해석 함수]]
[[분류:일반화]]