해밀토니언 (양자역학) 문서 원본 보기

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'''해밀토니언'''({{lang|en|Hamiltonian, <math>\hat H</math> 또는 <math>H</math>로 표기}})은 양자 상태의 시간 변화를 생성하는 [[에르미트 행렬|에르미트]] 연산자이다. 이는 고전 [[해밀턴 역학]]에서 [[해밀턴 역학#전개|해밀토니언]]을 [[양자화 (물리학)|양자화]]하여 얻을 수 있고, 고전적인 [[에너지]]를 나타낸다.
== 해밀토니언과 역학적 에너지 ==
여기서 좌표 q는 대상으로 하는 계의 운동을 나타내는 한 임의로 선택할 수 있고, 운동량 p는 이에 따라 정해진다. 이와 같이 좌표와 운동량이 특별한 관계를 가지며, 이 관계를 정준공액, 이 경우의 좌표와 운동량을 정준켤례인 역학변수라 한다. 따라서 해밀토니안은 정준공액인 역학변수로 에너지를 표현한 것이다.

== 고전역학에서 해밀토니언 ==
[[고전역학]]에서 해밀토니언 H는 [[라그랑지언]] L의 [[일반화 좌표|일반화 속도]]를 [[일반화 운동량]]으로 [[르장드르 변환]]한 것을 말한다.

: <math>H(q_i, \; p_i ,\; t) \equiv \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q_i, \; \dot{q}_i ,\; t) </math>

당초 고전역학에서는 T를 [[운동 에너지]], U를 [[위치 에너지]]로 전에너지 H를

: <math> H = H(q,p;t) \, = T(p) + U(q)</math>

로 일반좌표 ''q'', 일반운동량 ''p''에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다.

만약 [[퍼텐셜]] U가 시간의 함수가 아니고
:<math>V = V(q_i)</math>
:<math>{\partial V \over \partial t} = 0</math>
주어진 [[일반화 좌표]]가 [[관성계]]여서 [[운동에너지]]가 <math>\dot{q}_i</math>의 [[이차 형식]], 즉 제곱으로 나타낼 때,
:<math>T = \sum_i c_i \dot{q}_i^2</math>
(여기서 c<sub>i</sub>는 임의의 상수) 아래의 관계식이 만족되어
:<math>\sum_i p_i \dot{q}_i = \sum_i \dot{q}_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} = \sum_i \dot{q}_i {\partial T \over \partial \dot{q}_i} = \sum_i 2 c_i \dot{q}_i^2 = 2T</math>
이를 해밀토니언에 대입하면

:<math> H = T(q_i , \; \dot{q}_i) + V(q_i ) </math>
이 된다. 이러한 경우, 해밀토니언 H를 기하적 [[에너지]] E라 정의한다.

해밀토니언에 대한 시간의 전미분은 다음과 같다.
:<math>{dH \over dt} = {\partial H \over \partial t} + \sum_i {\partial H \over \partial q_i} \dot{q}_i + \sum_i {\partial H \over \partial p_i} \dot{p}_i</math>
그런데 여기에 [[해밀턴 방정식]] <math>\partial H / \partial q_i = - \dot{p}_i</math>, <math>\partial H / \partial p_i = \dot{q}_i</math> 을 대입하면 다음의 관계가 성립함을 알 수 있다.
:<math>{dH \over dt} = {\partial H \over \partial t}</math>
따라서 해밀토니언이 직접적인 시간의 함수가 아니라면
:<math>{dH \over dt} = 0</math>
이 되어 해밀토니언이 [[운동 상수]]가 됨을 알 수 있다. 이런 해밀토니언을 갖는 [[계 (물리학)|계]]를 [[역학적 에너지]]가 보존되는 계라 하여 '''[[보존계]]'''({{lang|en|conservative system}})라 한다.

== 양자역학에서 해밀토니언 ==
[[양자역학]]에서 해밀토니언은 [[계 (물리학)|계]]의 운동에너지와 포텐셜 에너지의 합으로 전체 [[에너지]]를 나타내는 [[관측가능량]]이다. 다른 관측가능량들과 마찬가지로, 계의 전체 에너지를 측정할 때, 해밀토니언의 [[스펙트럼]]은 관측 가능한 결과를 나타낸다. 다른 [[자체수반연산자]]와 마찬가지로, 해밀토니언의 스펙트럼 또한 스펙트럼의 측정을 통해 순수한 점, 완전히 연속이거나 특이점이 있는 경우 등을 분해할 수 있다. 순수한 점 스펙트럼은 계의 특정한 [[속박상태]]를 나타내는 [[고유벡터]]로 취급될 수도 있다. 완전히 연속인 스펙트럼의 경우는, 상태의 선택이 자유로움을 의미한다. 특이점이 있는 스펙트럼의 경우는, 물리학적으로 불가능한 결과를 포함하기도 한다. 예를 들어, 유한한 [[퍼텐셜 우물]]을 생각해보자. 이 때, 속박 상태의 경우는 음의 에너지, 연속적인 자유로운 상태는 양의 에너지를 가지게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[해밀턴 역학]]
{{전거 통제}}

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:양자화학]]
[[분류:윌리엄 로언 해밀턴]]
[[분류:이론화학]]