해밀턴 역학 문서 원본 보기

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[[파일:WilliamRowanHamilton.jpeg|오른쪽|섬네일|200px|해밀턴 역학의 창시자, [[윌리엄 로언 해밀턴]]]]
{{고전역학}}
'''해밀턴 역학'''(Hamilton 力學, {{lang|en|Hamiltonian mechanics}})은 [[고전역학]]적 [[계 (물리학)|계]]를 좌표와 이에 대응하는 [[운동량]]으로 이루어진 [[위상공간 (물리학)|위상 공간]]으로 나타내어 다루는 해석 역학 이론이다. 위상 공간 대신 [[짜임새 공간]]에 정의된 [[라그랑주 역학]]은 2차 [[미분 방정식]]을 쓰나, 해밀턴 역학은 1차 미분 방정식을 쓴다. 해밀턴 역학의 동역학을 나타내는 함수인 [[해밀토니언]]은 계의 [[에너지]]로서 해석할 수 있다. 이는 [[양자역학]]과 직접적으로 관련돼 있다.

== 역사 ==
[[아일랜드]]의 수학자 [[윌리엄 로언 해밀턴]]이 기존의 [[라그랑주 역학]]을 바탕으로 1833년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴|성=Hamilton|이름=William Rowan|제목=On a General Method in Dynamics; By Which the Study of the Motions of All Free Systems of Attracting or Repelling Points is Reduced to the Search and Differentiation of One Central Relation, or Characteristic Function|저널=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|연도=1834|권=124|쪽=247-308|doi=10.1098/rstl.1834.0017|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/GenMeth.pdf}}</ref><ref>{{저널 인용|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴|성=Hamilton|이름=William Rowan|저널=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|제목=Second Essay on a General Method in Dynamics|연도=1835|권=125|쪽=95-144|doi=10.1098/rstl.1835.0009|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/SecEssay.pdf}}</ref>

== 전개 ==
계의 주어진 시간의 상태는 [[위상공간 (물리학)|위상 공간]] <math>(M,\omega)</math> 위의 한 점으로 주어진다. 위상 공간은 [[심플렉틱 다양체]](사교 다양채)로서, 이는 [[일반화 좌표]]와 [[일반화 운동량]]으로 구성돼 있는 것으로 생각할 수 있다.

심플렉틱 구조 <math>\omega_{\mu\nu}</math>를 써서, [[푸아송 괄호]]라는 연산자 <math>\{\cdot,\cdot\}</math>를 정의할 수 있다. <math>\omega_{\mu\nu}</math>는 2-[[미분형식|형식]]이다. 이는 가역행렬이므로, 그 역을 취하여 (2,0)-텐서 <math>\omega^{\mu\nu}</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면, 두 함수 <math>f,g\colon M\to\mathbb R</math>의 푸아송 괄호는 다음과 같다.
:<math>\{f,g\}=\omega^{\mu\nu}\partial_\mu f\partial_\nu g</math>.

계의 시간 변화는 <math>M</math> 위에 주어진 함수 <math>H\colon M\to\mathbb R</math>로 나타낼 수 있다. 이를 '''해밀토니언'''({{llang|en|Hamiltonian}})이라고 부른다. 계의 어떤 관측가능량을 <math>f\colon M\to\mathbb R</math>로 나타내자. 계가 시간에 따라 변화하면서, <math>f</math>의 값은 바뀌게 된다. 이 때, <math>f</math>의 시간 변화는 다음과 같다.
:<math>\frac{df}{dt}=\{f,H\}</math>.
국소적 좌표 <math>(q_i,p_i)</math>를 잡고, 관측가능량이 <math>q_i</math> (입자 위치) 또는 <math>p_i</math>(입자의 운동량)인 경우를 생각할 수 있다. 그렇다면 위의 시간 변화식은 다음과 같이 간단해진다.
:<math>\frac{dq_i}{dt} =\frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>\frac{dp_i}{dt}= -\frac{\partial H}{\partial q_i}</math>.
이를 '''해밀턴 방정식'''({{llang|en|Hamilton's equations}})이라고 부른다.

[[보존계]]의 경우, 해밀토니언은 [[운동 에너지]] <math>T</math>와 [[위치 에너지]] <math>U</math>의 합으로 주어진다.
:<math>H = T + U</math>
따라서 해밀토니언을 일종의 총 에너지로 해석할 수 있다.

여기서는 해밀토니언 및 관측가능량이 시간에 대하여 직접적으로 의존하지 않는다고 가정하였으나, 시간에 대하여 직접적으로 의존하는 경우도 해밀턴 역학으로 다룰 수 있다. 이 때는 해밀토니언과 관측량은 <math>M\times\mathbb R\to\mathbb R</math>과 같은 함수로 나타내어지고, 그 시간 변화는 다음과 같다.
:<math>\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}.</math>

== 라그랑주 역학과의 동등성 ==
해밀턴 역학은 라그랑주 역학으로부터 유도할 수 있고, 반대로 라그랑주 역학을 해밀턴 역학으로부터 유도할 수 있다. 따라서 두 이론은 서로 동등하다. 해밀토니언은 라그랑지언의 [[르장드르 변환]]이다.
:<math>H = H(q_i, \; p_i, \; t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L</math>

해밀턴 방정식의 유도는 [[라그랑지언]] L의 [[전미분]]으로부터 시작한다.
:<math>dL = \sum_i {\partial L \over \partial q_i} dq_i + \sum_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} d \dot{q}_i + {\partial L \over \partial t} dt</math>
그런데 [[일반화 운동량]]의 정의에 따르면
:<math>p_i \equiv {\partial L \over \partial \dot{q}_i }</math>
이고, [[라그랑주 방정식]]으로부터,
:<math>\dot{p}_i = {\partial L \over \partial q_i} </math>
임을 알 수 있다. 이를 라그랑지언의 전미분에 대입하면
:<math>dL = \sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i p_i d \dot{q}_i + {\partial L \over \partial t} dt</math>
를 얻는다. 여기서 우변의 둘째항을 [[곱 규칙]]을 사용해
:<math>\sum_i p_i d \dot{q}_i = d \left(\sum_i p_i \dot{q}_i \right) - \sum_i \dot{q}_i d p_i </math>
와 같이 표현하고 이를 정리하면
:<math>d \left(\sum_i p_i \dot{q}_i - L \right) = -\sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i \dot{q}_i d p_i - {\partial L \over \partial t} dt</math>
여기서 해밀토니언 H를 정의한다.
:<math>H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L</math>
이를 이용해 식을 다시 쓰면
:<math>d H = -\sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i \dot{q}_i d p_i - {\partial L \over \partial t} dt</math>
가 된다. 이 식은 해밀토니언 H가 일반화 좌표 q<sub>i</sub>, 일반화 운동량 p<sub>i</sub>, 시간 t의 함수임을 보여준다. 그와 동시에 해밀토니언 H를 알면 다음과 같은 식을 통해 변수 q<sub>i</sub>, p<sub>i</sub>를 알 수 있음을 보여주고 있다.
:<math>\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i = - {\partial H \over \partial q_i}</math>
이 두 식을 '''해밀턴 방정식'''({{lang|en|Hamilton's equations}})이라 한다. 그리고 마지막 항에서 해밀토니언과 라그랑지언의 다른 관계를 알 수 있다.
:<math>{\partial H \over \partial t} = - {\partial L \over \partial t}</math>
이 식도 해밀토니언의 전미분에서 얻어지지만, 운동과 직접적인 관련이 없는 식이기 때문에 보통 해밀턴 방정식에 포함시키지 않는다.

== 해밀턴의 원리로부터 해밀턴 방정식의 유도 ==
해밀턴 방정식은 [[해밀턴의 원리]]로부터 얻을 수도 있다. 먼저 해밀턴의 원리에서의 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt </math>
여기서, [[라그랑지언]] <math>L</math>에 [[해밀토니언]] <math>H</math>의 [[르장드르 변환]] <math>\textstyle L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H</math>를 대입하면 다음과 같은 [[작용 (물리학)|작용]]을 얻는다.
:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i p_i dq_i - H dt \right] </math>
이 작용에 변분을 취하면
:<math>\delta S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left( \delta p_i \dot{q}_i + p_i \delta \dot{q}_i - {\partial H \over \partial p_i } \delta p_i - {\partial H \over \partial q_i } \delta q_i \right) \right] dt </math>
이 된다. 여기서 두 번째 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>p_i \delta \dot{q}_i = {d \over dt} p_i \delta q_i - \dot{p}_i \delta q_i</math>
따라서 이를 대입하고 각 좌표의 변분을 묶어주면 작용의 변분은 다음과 같이 된다.
:<math>\delta S[\mathbf{q}(t)] = \left. p_i \delta q_i \right|_{t_{1}}^{t_{2}} +  \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left\{ \left( \dot{q}_i - {\partial H \over \partial p_i } \right) \delta p_i - \left(\dot{p}_i + {\partial H \over \partial q_i } \right) \delta q_i \right\} \right] dt </math>
여기서, 첫 번째 항은 위치의 변분은 양 끝에서 0이라는 조건에 의해 0이 되고 나머지 뒤 항에선 작용의 변분이 0이 되어야 하므로, 위치와 운동량의 변분의 계수가 0이 되어야 함을 알 수 있다. 여기에서 해밀턴 방정식을 얻을 수 있다.
:<math>\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i = - {\partial H \over \partial q_i}</math>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|저자=문희태|연도=2006|제목=고전역학|판=개정판|위치=서울|출판사=서울대학교 출판부|쪽=271-3, 274-6}}
* {{언어링크|en}} {{저널 인용|제목=Hamiltonian systems|이름=James|성=Meiss|연도=2007|저널=Scholarpedia|권=2|호=8|쪽=1943|doi=10.4249/scholarpedia.1943}}
* {{언어링크|en}} {{서적 인용 | first=Vladimir Igorevich|저자링크=블라디미르 아르놀트 | last=Arnold | title=Mathematical Methods of Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1989 | isbn=0-387-96890-3 }}
* {{언어링크|en}} {{서적 인용|저자=Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden |  title=Foundations of Mechanics | year=1978 | publisher=Benjamin-Cummings | location=London | isbn=0-8053-0102-X }}

== 같이 보기 ==
* [[해밀토니언]]
* [[해밀턴-야코비 방정식]]
* [[해밀턴의 원리]]

{{전거 통제}}

[[분류:해밀턴 역학| ]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:물리학 개념]]