해밀턴-야코비 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[고전역학]]에서 '''해밀턴-야코비 방정식'''(Hamilton-Jacobi 方程式)은 [[고전역학]]을 기술하는 하나의 방법이다.<ref>{{저널 인용|제목=Hamilton-Jacobi equation|이름=Robert L.|성=Warnock|날짜=2010-07-19|저널=Scholarpedia|권=5|호=7|쪽=8330|doi=10.4249/scholarpedia.8330}}</ref><ref>{{서적 인용|first=Herbert |last=Goldstein | 저자2=Charles P. Poole, Jr. | 저자3=John L. Safko|제목=Classical Mechanics |publisher=Addison-Wesley |날짜=2001-06-15 |isbn=0201657023 | 판=3 | url = http://pearsonhighered.com/educator/product/9780201657029.page |장=10. Hamilton-Jacobi Theory and Action Angle Variables|쪽=430–482}} 평론 {{저널 인용|저널=American Journal of Physics|날짜=2002-07|권=70|호=7|쪽=782–783|제목=''Classical Mechanics'', 3rd ed. (Review)|이름=Stephen R.|성=Addison|위치=New York|doi=10.1119/1.1484149}} {{저널 인용|
제목=''Classical Mechanics'', second printing (Review)| url=https://archive.org/details/sim_physics-today_1952-09_5_9/page/n17|이름=Vic|성=Twersky|날짜=1952-09|저널=Physics Today|권=5|호=9|쪽=19|doi=10.1063/1.3067728}}</ref> 이를 이용하면, [[계 (물리학)|역학계]]의 [[운동 상수]]들을 계를 완전히 풀지 않고도 찾을 수 있다.

== 정의 ==
해밀턴-야코비 방정식은 일차 비선형 [[편미분 방정식]]이다. 해밀턴 주(主)함수 (principal function) <math>S(q_{1},\dots,q_{N}; t)</math>가 주어지면, 해밀턴 야코비 방정식은 다음과 같다.

:<math>
H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.
</math>

이 방정식은 <math>S</math>를 [[해밀토니언]]의 [[정준변환]]의 [[모함수 (물리학)|모함수]]로 생각하여, [[해밀턴 역학]]에서 유도할 수 있다.

만약 계가 [[에너지]]를 보존하면, 해밀턴 주함수 대신 해밀턴 특성함수 (characteristic function) <math>W(q_1,\dots,q_N)</math>를 사용할 수 있다. 이렇게 쓰면, 해밀턴 야코비 방정식은 다음과 같다.
:<math>
H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right)=E.
</math>
이 때 해밀턴 주함수와 특성함수는 다음과 같은 관계를 가진다.
:<math>
S=W-Et
</math>

== 역사 ==
[[윌리엄 로언 해밀턴]]<ref>{{저널 인용|last=Hamilton |first=W.|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴 |year=1833 |title=On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function |journal=Dublin University Review |pages=795–826|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/CharFun.pdf }}</ref><ref>{{저널 인용|last=Hamilton |first=W.|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴 |year=1834 |title=On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics |journal=British Association Report |pages=513–518|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/BARep34A.pdf }}</ref>이 1833년에 발표하였고, [[카를 구스타프 야코프 야코비]]<ref>{{저널 인용|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1837|호=17|쪽=68–82|doi=10.1515/crll.1837.17.68|날짜=1837-01|제목=Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen|이름=C.G.J.|성=Jacobi|저자링크=카를 구스타프 야코프 야코비}}
</ref><ref>{{저널 인용|제목=Ueber die Reduction der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen irgend einer Zahl Variablen auf die Integration eines einzigen Systemes gewöhnlicher Differentialgleichungen|이름=C.G.J.|성=Jacobi|저자링크=카를 구스타프 야코프 야코비|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1837|호=17|쪽=97–162|doi=10.1515/crll.1837.17.97|날짜=1837-01}}</ref>가 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|first=Michiyo|last=Nakane|저자2=Craig G. Fraser|title=The Early History of Hamilton-Jacobi Dynamics 1834–1837|publisher=Wiley|journal=Centaurus|날짜=2002-12|권=44|호=3–4|쪽=161–227|doi=10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x|url=http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/HJ.pdf|access-date=2013-01-21|archive-date=2012-07-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20120710091607/http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/HJ.pdf|url-status=}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[정준변환]]
* [[운동 상수]]
* [[해밀턴 벡터장]]
* [[WKB 근사]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|first=A. |last=Fetter  |저자2=J. Walecka |title=Theoretical Mechanics of Particles and Continua |url=https://archive.org/details/theoreticalmecha0000fett |publisher=Dover Books |year=2003 |isbn=0-486-43261-0 }}
* {{서적 인용|last=Landau |first=L. D. |저자2=L. M. Lifshitz|title=Mechanics |publisher=Elsevier |location=Amsterdam |year=1975 }}
* {{서적 인용|first=J. J. |last=Sakurai |title=Modern Quantum Mechanics |url=https://archive.org/details/modernquantummec0000saku_m0c7 |publisher=Benjamin/Cummings Publishing |year=1985 |isbn=0-8053-7501-5 }}

{{전거 통제}}

[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:윌리엄 로언 해밀턴]]