해밀턴의 원리 문서 원본 보기

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'''해밀턴의 원리'''({{lang|en|Hamilton's principle}})란 [[미분방정식]]을 사용한 [[고전역학]]의 기술방식과는 달리 [[변분법]]을 사용해 [[적분방정식]]으로 [[고전역학]]을 기술하는 원리이다. 이 원리는 고전역학에서 시작된 원리이지만, [[전자기학]], [[일반상대성이론]], [[양자역학]], [[양자장론]]등 여러 물리학 분야를 기술하는 [[최소작용의 원리]]로 확장되었다. 수학자 [[윌리엄 로원 해밀턴]]의 이름에서 유래했다.

== 수학적 설명 ==
해밀턴의 원리는 <math>N</math>개의 [[일반화 좌표]] <math>\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)</math>로 표현되는 [[계 (물리학)|계]]의 두 상태 <math>\mathbf{q}_{1}  =  \mathbf{q}(t_{1})</math> 와 <math>\mathbf{q}_{2}  =  \mathbf{q}(t_{2})</math> 사이의 변화는 다음과 같은 [[작용 (물리학)|작용]] [[범함수]]의 [[극값]]이라는 원리이다.

:<math>
S[\mathbf{q}(t)] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  
\int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt 
</math>

여기서 <math>L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)</math>은 계의 [[라그랑지안]]이다. 바꿔말하면, 변화의 [[섭동이론|일차 섭동]]은 작용 <math>S</math>의 이차 변화를 이끌어 내는 것을 말한다. 여기서 작용 <math>S</math>는 어떤 [[함수]]를 대입하면 [[스칼라]]가 나오는 [[범함수]]임에 유의하자. [[함수해석학]]의 표기를 따르면, 해밀턴의 원리는 계의 진화가 다음과 같은 범함수 방정식

:<math>
\frac{\delta S}{\delta \mathbf{q}(t)}=0
</math>

의 해임을 의미한다. 여기서 기호 <math>\delta</math>는 미소 변화를 의미한다.

== 미분방정식을 통한 고전역학의 기술과의 비교 ==
위 사실이 [[미분방정식]]을 사용한 [[고전역학]]의 기술과 동등함을 보이려면, 위 식으로부터 [[라그랑주 방정식]]이나 [[해밀턴 방정식]]을 얻어낼 수 있어야 한다.

<math>\mathbf{q}(t)</math>를 시간이 <math>t_{1}</math> 와 <math>t_{2}</math>일 때의 계의 상태 <math>\mathbf{q}_{1} =  \mathbf{q}(t_{1})</math> 와 <math>\mathbf{q}_{2} =  \mathbf{q}(t_{2})</math> 사이의 진화라고 하자. 이 계의 일반화 좌표 <math>\mathbf{q}</math>를 가상적으로 <math>\delta \mathbf{q}(t)</math>변분했다 하자. 그리고 양 끝에서는 계의 상태가 정해져 있으므로, <math>\delta \mathbf{q}(t)</math>의 값은 0이 된다.
:<math>\delta \mathbf{q}(t_1) = 0</math>
:<math>\delta \mathbf{q}(t_2) = 0</math>

경로가 변함에 따라 작용이 어떻게 변하는지 알아보기 위해 작용에 변분을 취하면,
:<math>\delta S = \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt = \sum_i \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ {\partial L \over \partial q_i} \delta q_i + {\partial L \over \partial \dot{q}_i } \delta \dot{q}_i \right]\, dt</math>
가 된다. 여기서 마지막 항에 [[부분적분]]을 쓰면,
:<math>\delta S = \sum_i \left[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} {\partial L \over \partial q_i} \delta q_i dt  +  \left.  \delta q_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i } \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta q_i {d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_i} dt \right] </math>
이고 양 끝에서 경로의 변분이 0이므로,
:<math>\delta S = \sum_i \left[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta q_i \left( {\partial L \over \partial q_i} - {d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_i} \right) dt \right] </math>
이 된다. 최종적으로 해밀턴의 원리는 이 변분의 값이 0인 것을 말하므로 괄호안의 항이 0, 즉
:<math> {\partial L \over \partial q_i} - {d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_i} =0</math>
임을 말한다. 이 해를 [[라그랑주 방정식]]과 비교하면 일치함을 확인할 수 있다. 특별히, 이렇게 변분을 통해 얻어진 이 방정식을 [[오일러-라그랑주 방정식]]이라고 한다. 따라서 이 최소작용의 원리는 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술과 동등함을 알 수 있다.

==간단한 역사==
수학자 [[피에르 드 페르마]]가 1662년에 쓴 편지에서 빛은 시간이 최소한으로 걸리는 경로를 지난다는 [[페르마의 원리]]를 말한다. 그 뒤 [[모페르튀]]가 현대의 최소 작용의 원리의 좁은 의미에 해당하는 모페르튀의 원리를 발표한다. [[오일러]]도 비슷한 시기에 작용원리를 발표한다. 이후 [[라그랑주]], 해밀턴 등이 이러한 방식을 더욱 발전시켜 오늘날 고전역학 전공서에 라그랑주 역학과 해밀턴 역학이 나온다.

== 같이 보기 ==
* [[해밀턴-야코비 방정식]]
* [[위상 공간 (물리학)]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=문희태|연도=2006|제목=고전역학|판=개정판|위치=서울|출판사=서울대학교 출판부|쪽=60-5, 274-5}}
* {{서적 인용|저자= Stephen T. Thornton|공저자= Jerry B. Marion|제목= Classical Dynamics of Particles and Systems|연도=2003|출판사= Brooks/Cole|판=Fifth Edition|쪽=p. 229-231}}
* {{서적 인용|저자=Herbert Goldstein|공저자=Charles Poole, John Safko|제목= Classical Mechanics |연도=2002|출판사=Addison Wesley|판=3판|쪽=p. 34-6}}
* {{저널 인용|성=Gray|이름=Chris G|제목=Principle of least action|저널=Scholarpedia|권=4|호=12|쪽=8291|doi=10.4249/scholarpedia.8291|연도=2009}}

{{전거 통제}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:윌리엄 로언 해밀턴]]
[[분류:라그랑주 역학]]