해다양체 문서 원본 보기

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[[미분위상수학]]에서 '''해다양체'''(解多樣體, {{llang|en|solvmanifold}})는 [[가해 리 군]]의 [[몫공간]]으로 얻어지는 [[동차공간]]이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 '''해다양체'''라고 한다.
* [[가해 리 군]]에 대한 [[동차공간]]이다.
* [[연결 공간|연결]] [[가해 리 군]]의 닫힌 부분군에 대한 [[몫공간]]이다.

== 성질 ==
모든 해다양체는 콤팩트 해다양체 위의 [[벡터 다발]]과 [[미분 동형]]이다. (이는 [[조지 모스토]]가 추측하였고,<ref>{{저널 인용|이름=George|성= Mostow|저자링크=조지 모스토|제목=Factor Spaces of Solvable Groups|저널=Annals of Mathematics|권=82|쪽=689–697|jstor=1969700|doi=10.2307/1969700 |날짜=1953-02-09|언어=en}}</ref> 루이스 오슬랜더({{llang|en|Louis Auslander}})와 리처드 톨미에리({{llang|en|Richard Tomlieri}})가 1970년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|jstor=1970700|제목=Splitting theorems and the structure of solvmanifolds|이름=Louis|성=Auslander|이름2=Richard|성2=Tolmieri|저널=Annals of Mathematics| 권=92|호= 1|날짜=1970-07|쪽=164-173 |doi=10.2307/1970700 |언어=en}}</ref>)

같은 [[기본군]]을 갖는 콤팩트 해다양체는 서로 [[미분 동형]]이다. 군 <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\pi_1(M)\cong G</math>인 해다양체 <math>M</math>이 존재한다.
* [[자유 아벨 군]]의, [[꼬임 부분군]]이 자명한 유한 생성 [[멱영군]]에 대한 [[군의 확대|확대]]이다. 즉, <math>1\to N\to G\to\mathbb Z^{\oplus k}\to1</math>이 되는 [[꼬임 부분군]]이 자명한 유한 생성 멱영군 <math>N</math> 및 자연수 <math>k\in\mathbb N</math>가 존재한다.
특히, 해다양체의 [[기본군]]은 [[다순환군]]({{llang|en|polycyclic group}})이다.

모든 해다양체는 [[비구형 공간]]({{llang|en|aspherical space}})이다. 즉, 해다양체 <math>X</math>의 모든 2차 이상 [[호모토피 군]]은 [[자명군]]이다.
:<math>\pi_n(X)=1\qquad(n=2,3,\dots)</math>
콤팩트 [[동차공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|이름=В. В.|성= Горбацевич|제목=О группах Ли, транзитивных на компактных солвмногообразиях|저널=Известия академии наук СССР. Серия математическая|권=41|날짜=1977|쪽=285–307|url=http://mi.mathnet.ru/izv1802 |언어=ru}}</ref>
* 해다양체이다.
* [[비구형 공간]]이며, 그 [[기본군]]은 [[가해군]]이다.

== 예 ==
[[멱영 리 군]]은 [[가해 리 군]]이므로, 모든 [[영다양체]]는 해다양체이다. 특히, 모든 [[원환면]]은 해다양체이다.

[[클라인 병]]은 영다양체가 아닌 해다양체이다. [[뫼비우스 띠]]는 비콤팩트 해다양체의 예이며, 이는 (자명하게 해다양체인) [[원 (기하학)|원]] 위의 자명하지 않은 실수 [[선다발]]이다.

2차원 [[푸앵카레 군]] <math>\operatorname{ISO}^+(1,1)\cong\mathbb R^2\rtimes \mathbb R</math>은 3차원 [[가해 리 대수]]이며, 콤팩트 몫공간을 갖는다. 이 몫공간들은 콤팩트 해다양체의 예이다. 이는 [[기하화 추측]]에 등장하는 8개의 기하들 가운데 하나이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Louis|성=Auslander|제목=An exposition of the structure of solvmanifolds. Part I: algebraic theory|
저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=79|호=2|날짜=1973|쪽=227–261|doi=10.1090/S0002-9904-1973-13134-9 |언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Louis|성=Auslander|제목=An exposition of the structure of solvmanifolds. Part II: ''G''-induced flows|
저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=79|호=2|날짜=1973|쪽=262–285|doi=10.1090/S0002-9904-1973-13139-8 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Solv manifold}}
* {{eom|title=Solv manifold, compact}}

== 같이 보기 ==
* [[가해 리 대수]]
* [[영다양체]]
* [[기하화 추측]]

[[분류:다양체]]