항등원 문서 원본 보기

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[[군론]]을 비롯한 [[대수학]]에서 '''항등원'''({{lang|ko-Hani|恒等元}}, {{llang|en|identity element 또는 neutral element}}, 단위원)이란 임의의 수 <math>a</math>에 대하여 어떤 수를 [[연산]]했을 때 처음의 수 <math>a</math>가 되도록 만들어 주는 수를 말한다. 항등원이 <math>e</math>가 된 유래는 저명한 수학자 [[레온하르트 오일러]]의 앞글자를 따서 쓴 것이다. 항등원이 무엇인지는 그 집합과 [[이항연산]]의 종류에 따라 달라진다. 쉽게 말해서 1개의 양을 전혀 달라 보이는 다른 양과 같게 만드는 [[수학|수학적]] 관계를 말한다고 생각하면 된다. [[피타고라스의 정리]]와 같이 항상 참이 되는 것이 [[방정식]]을 의미하기도 한다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>S</math>와 <math>S</math>에 대해 닫혀 있는 [[이항연산]] <math>*</math>로 이루어진 [[마그마 (수학)|마그마]] <math>(S, *)</math>가 주어졌을 때,
* ''<math>S</math>''의 모든 원소 ''<math>a</math>''에 대해 <math>e_L * a = a</math>가 성립한다면, <math>e_L</math>을 '''좌항등원'''이라 한다.
* ''<math>S</math>''의 모든 원소 ''<math>a</math>''에 대해 <math>a * e_R = a</math>가 성립한다면, <math>e_R</math>을 '''우항등원'''이라 한다.
* 만약 좌항등원과 우항등원이 같다면, <math>e = e_L = e_R</math>을 '''항등원'''이라 한다.

[[환론]]과 [[체론]] 등에서는 특별히 [[덧셈에 대한 항등원]]과 [[곱셈에 대한 항등원]]을 구분하기도 하며, 특별히 곱셈에 대한 항등원을 '''단위원'''({{lang|ko-Hani|單位元}}, {{lang|en|unity}})이라고 부르기도 한다.

== 항등원의 예 ==
{| class="wikitable"
! 집합 !! 연산자 !! 항등원
|-
| rowspan=2|[[실수]], [[복소수]]|| + ([[덧셈]]), - ([[뺄셈]]) || [[0]]
|-
| × ([[곱셈]]), ÷([[나눗셈]]) || [[1]]
|-
| rowspan=2|[[행렬|정사각행렬]] || 행렬의 덧셈 || [[영행렬]]
|-
| 행렬의 곱셈 || [[단위행렬]]
|-
| 함수 || [[합성함수]] || [[항등함수]]
|}

== 같이 보기 ==
* [[역원]]

{{토막글|수학}}

[[분류:대수학]]
[[분류:군론]]
[[분류:0]]
[[분류:1]]