항등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''항등식'''(恒等式, identity)은 [[등식]]의 일종으로, 항등식에는 크게 두 가지의 정의가 있다.

'''첫 번째 정의'''는 등식 내부의 특정한 [[변수]]가 [[복소수]]의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식이다.

예 : x에 대한 항등식<math>(x+2)^2=x^2+4x+4</math>에서 <math>x</math>가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변해도 등식을 만족한다.


'''두 번째 정의'''는 등식의 양 변에서 '''특정한 문자'''의 차수에 따른 문자들의 계수가 각각 모두 같은 등식이다.

예 : <math>x</math>에 대한 항등식<math>2x^3-3x^2+13x+2=2x^3-3x^2+13x+2</math>은 등식의 양 변에서 <math display="inline">x</math>의 차 수에 따른 <math display="inline">x</math>의 계수들이 각각 모두 같다.


항등식은 이 특정한 변수들을 구분하기 위해 '''(특정한 문자)에 대한 항등식'''이라고 부르며, 항등식에서 변수로 분류되는 문자 이외의 문자들은 모두     "상수" 여야 한다는 약속이 있다.

등식에는 모두 [[방정식]], 항등식, 항상 거짓인 등식 (불능)이 있다. 이 세 가지 부류의 등식을 효율적으로 구분하기 위해서, 항등식 만의 독특한 성질을 따로 분류하여야 한다. [[연산]]의 기본 성질을 활용하여 변형되는 식은 모두 항등식이다. 

예를 들어, <math> \sin \theta=1 </math>의 경우는 특정 값에 대해서 만 참을 만족하는 반면, <math> \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>은 <math>\theta</math> 값에 관계 없이 항상 참을 만족한다. 즉, 두 번째의 식은 항등식이다.

[[사칙연산]]에 있어 다음은 모두 항등식이다.
* <math>a + 0 = 0 + a = a</math>
* <math>a - 0 = a</math>
* <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>
* <math>{a \over 1} = a</math>



모든 <math>x</math>에 대하여 성립하다. 
임의의 <math>x</math>에 대하여 성립한다. 
<math>x</math>값에 관계없이 성립한다. 
어떤 <math>x</math>의 값을 대입해도 성립한다. 

위의 표현은 모두 위의 '''첫번째 정의'''에서 나온 표현들로, 어떤 등식이 이 표현의 수식을 받는다면 항등식의 정의에 따라 그 등식은 <math>   x</math>에 대한 항등식이다.

== 같이 보기 ==
* [[야코비 항등식]]
* [[프로이즈볼로프 항등식]]
* [[라그랑주 항등식]]
* [[제르맹 항등식]]
* [[워드-다카하시 항등식]]
* [[피르츠 항등식]]
* [[오일러의 네 제곱수 항등식]]
* [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]
* [[방정식]]

[[분류:초등대수학]]
[[분류:항등식| ]]