합 규칙 문서 원본 보기

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{{미적분학}}

[[미적분학]]에서 '''합 규칙'''(合規則, {{llang|en|sum rule}})은 [[미분]]이 함수의 덧셈을 보존한다는 법칙이다.

== 정의 ==
두 함수 <math>f,g\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>x_0\in I\subseteq\mathbb R</math>에서 [[미분 가능]]하다고 하자. 그렇다면, <math>f+g</math> 역시 <math>x_0</math>에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
:<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>
[[라이프니츠 표기법]]을 사용하면 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}(f+g)(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)+\frac{dg}{dx}(x_0)</math>
보다 일반적으로, 유한 개의 함수 <math>f_1,f_2,\dots,f_n\colon I\mathbb R</math>에 대한 합 규칙은 다음과 같다.
:<math>(f_1+f_2+\cdots+f_n)'(x_0)=f_1'(x_0)+f_2'(x_0)+\cdots+f_n'(x_0)</math>
라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}(f_1+f_2+\cdots+f_n)(x_0)=\frac{df_1}{dx}(x_0)+\frac{df_2}{dx}(x_0)+\cdots+\frac{df_n}{dx}(x_0)</math>

== 증명 ==
{{math|''h''(''x'') {{=}} ''f''(''x'') + ''g''(''x'')}}이고 {{mvar|f}}와 {{mvar|g}}가 각각 {{mvar|x}}에서 미분 가능하다고 하자. 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하면 {{mvar|h}}가 {{mvar|x}}에서 미분 가능하고 {{math|''{{prime|h}}''(''x'') {{=}} ''{{prime|f}}''(''x'') + ''{{prime|g}}''(''x'')}}라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\begin{align}
   h'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \\
   &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]}{\Delta x} \\
   &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\
   &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\
   &= f'(x)+g'(x).
 \end{align}</math>

[[분류:미분학]]