합집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:SetUnion.svg|섬네일|right|250px|집합 ''A''와 ''B''의 합집합 {{개행 금지|''A'' ∪ ''B''}}. ''A''와 ''B''를 각각 두 원으로 나타낼 때, {{개행 금지|''A'' ∪ ''B''}}는 두 원을 합쳐 만든 큰 모양이다.]]

[[집합론]]에서 둘 또는 더 많은 [[집합]]의 '''합집합'''(合集合, {{llang|en|union}})은 그들의 모든 [[원소 (수학)|원소]]를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 즉, 그들 중 하나에라도 속하는 원소들을 모두 모은 집합이다.

== 두 집합의 합집합 ==
[[파일:Venn0111.svg|섬네일|''A'' ∪ ''B'']]
[[파일:Venn 0111 1111.svg|섬네일|''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C'']]

두 집합 ''A'', ''B''의 합집합 ''A'' ∪ ''B''는, ''A''에 속하거나 ''B''에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 즉

:<math>A\cup B = \{x : x\in A\, \vee\, x\in B\}</math>

여기서 '∨'는 '[[논리합|또는]]'을 뜻한다. 다른 말로,

:{{수학|''x''가 ''A'' ∪ ''B''에 속할 [[필요충분조건]]은 "''x'' ∈ ''A'' 또는 ''x'' ∈ ''B''"}}

다음은 두 집합의 합집합의 예이다.

* 두 집합 {ㄱ, ㄴ, ㄷ}, {ㄴ, ㄹ}의 합집합은 {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}이다.
* [[소수 (수론)|소수]]의 집합 {2, 3, 5, 7, ...}과 [[합성수]]의 집합 {4, 6, 8, ...}의 합집합은, 1이 아닌 [[양의 정수]]의 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}이다.

== 성질 ==

[[포함배제의 원리]]에 따르면, 두 [[유한집합]]의 합집합과 두 집합의 원소 개수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

:<math>n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)</math>

합집합 연산의 대수적 성질은 [[집합대수]] 문서에 자세히 기술되어 있다.

합집합 연산은 [[공집합]]이라는 [[항등원]]을 가진다. 즉, ''A'' ∪ ∅ = ''A''는 항상 성립한다.

합집합은 [[이항연산]]으로서 [[결합법칙]]과 [[교환법칙]]을 만족한다. 이를테면 (''A'' ∪ ''B'') ∪ (''C'' ∪ ''D'')와 (''C'' ∪ (''B'' ∪ ''D'')) ∪ ''A''는 같은 집합이며, 이들을 간단히 ''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C'' ∪ ''D''라 표기해도 혼동의 여지가 없다. 임의의 유한 개의 집합의 합집합은, 이들 중 적어도 하나에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 예를 들어,

:<math>A\cup B\cup C = \{x : x\in A\, \vee\, x\in B\, \vee\, x\in C\}</math>
[[파일:Synthese-.svg|200px]]

== 가산 개의 집합의 합집합 ==
무한히 많은 집합들이 다음과 같이 일렬로 나열 가능하다면,<ref>그럴 수 없을만큼 많은 집합도 존재한다.</ref>

:<math>A,\ B,\ C,\ D,\ \ldots</math>

이들에게 [[자연수]] 번호를 다음과 같이 줄 수 있다.

:<math>A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4,\ \ldots</math>

이때 이들 집합의 합집합은, 이들 중 적어도 하나에 속하는 대상들을 모아놓은 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

:<math>\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \; = \; \bigcup_{i\in\N} A_i \; = \; A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \; := \; \{x : \exists i \in \N,\ x \in A_i\}</math>

== 임의의 첨수족의 합집합 ==
전체 자연수(1, 2, 3, ...)를 번호([[첨수]])로 주는 건 과분하거나(유한 개의 집합), 적당하거나(가산 개의 집합), 불충분(비가산 개의 집합)할 수 있다. 알맞은 첨수 ''i'' ∈ ''I''를 부여받은 집합 ''A<sub>i</sub>''들의 합집합은, 적어도 한 집합의 원소인 대상들의 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

:<math>\bigcup_{i\in I} A_i \; := \; \{x : \exists i\in I,\ x\in A_i\}</math>

== 임의의 합집합 ==
소위 집합의 집합에게도 합집합 연산을 정의할 수 있다. 집합족 {{mathcal|M}}의 합집합은 그에 속하는 집합들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 즉,

:<math>\bigcup\mathcal{M} \; = \; \bigcup_{A\in\mathcal{M}} A  \; := \; \{x : \exists A \in \mathcal{M},\ x \in A\}</math>

이는 가장 일반적인 합집합이며, 앞서 서술한 모든 정의를 포괄한다. 예를 들어, ''A'' ∪ ''B''는 집합족 {''A'', ''B''}의 합집합, <math>\scriptstyle{\bigcup_{i\in I} A_i}</math>는 첨수족 {{개행 금지|{{mset|''A<sub>i</sub>'' : ''i'' ∈ ''I''}}}}의 합집합이다.

[[공리적 집합론]]에서는, 임의의 집합족 {{mathcal|M}}의 합집합의 집합으로서의 존재성을 [[합집합 공리]]가 보장한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Union |id=Union }}
* {{springer|title=Union of sets|id=p/u095390}}
* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Infinite Union and Intersection at ProvenMath] De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

{{집합론}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:초등 수학]]