합성곱 문서 원본 보기

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[[파일:Comparison convolution correlation.svg|섬네일|[[합성곱]], [[상호상관]], [[자기상관]]의 비교.]]

'''합성곱'''(合成-), 또는 '''콘벌루션'''(convolution)은 하나의 [[함수]]와 또 다른 함수를 반전 이동한 값을 곱한 다음, 구간에 대해 [[적분]]하여 새로운 함수를 구하는 [[수학]] 연산자이다.

== 정의 ==
[[파일:Convolution3.PNG|오른쪽|섬네일|375px|'''합성곱 연산을 설명하는 그래프''' 먼저 임의의 변수(dummy variable)를 정의한다. (이 경우에는 <math>\tau</math>를 정의함) 이제 정의한 변수를 축으로 두 함수의 파형을 그린다. 그 다음으로 두 함수 중 하나를 선택해 <math>\tau</math>축에 대해 반전(time-invert)하고 ''t''를 더한다. (어떤 함수를 선택하든지 관계 없다.) 방금 선택한 함수는 <math>\tau</math>-축에 대해 앞뒤로 움직일 수 있다. 이때 ''t'' 변수의 값이 변화하지만 위 그림에서 파형의 뾰족한 부분은 항상 ''t-1''에 위치해 있다. 이제는 음의 무한대에서부터 양의 무한대까지 선택한 함수를 이동시키면서 두 함수의 곱의 적분 값을 찾는다. 이 결과를 파형으로 표시한 것이 바로 두 함수의 합성곱이다. (위 그림에는 표시하지 않았다.)]]

두 개의 함수 <math>f\,</math>와 <math>g\,</math>가 있을 때, 두 함수의 합성곱을 수학 기호로는 <math>f * g \,</math>와 같이 표시한다.

합성곱 연산은 두 함수 f, g 가운데 하나의 함수를 반전(reverse), 전이(shift)시킨 다음,
다른 하나의 함수와 곱한 결과를 적분하는 것을 의미한다.
이를 수학 기호로 표시하면 다음과 같다.
: <math>(f  * g )(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau</math>

또한 g 함수 대신에 f 함수를 반전, 전이 시키는 경우 다음과 같이 표시할 수도 있다. 이 두 연산은 형태는 다르지만 같은 결과값을 갖는다.
: <math>(f  * g )(t) = \int_{-\infty}^\infty f(t - \tau) g(\tau)\, d\tau</math>

위의 적분에서 적분 구간은 함수 f와 g가 정의된 범위에 따라서 달라진다.

또한 두 확률 변수 ''X''와 ''Y''가 있을 때 각각의 [[확률 밀도 함수]]를 ''f''와 ''g''라고 하면, X와 Y가 서로 독립이라는 가정 하에, ''X''+''Y''의 확률 밀도 함수는 <math>f * g \,</math>로 표시할 수 있다.

== 이산 합성곱 ==
이산 함수의 경우, 합성곱을 다음과 같이 정의 한다.
:<math>(f  * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,</math>

두개의 다항식을 곱한 결과식의 계수는 원래 다항식의 계수들의 합성곱으로 나타낼 수 있다.

== 특성 ==
합성곱은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

=== 교환 법칙 ===
: <math>f * g = g * f</math>

=== 결합 법칙 ===
: <math>f  * (g  * h) = (f  * g)  * h</math>

=== 분배 법칙 ===
: <math>f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h)</math>

=== 스칼라 곱의 결합 법칙 ===
[[실수]] 혹은 [[복소수]] 값 ''a''에 대해서
: <math>a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g)</math>

=== 미분 법칙 ===
: <math>\mathcal{D}(f  * g) = \mathcal{D}f  * g = f  * \mathcal{D}g</math>
<math>\mathcal{D}f</math>는 함수 ''f''의 미분 값을 나타낸다.
또는 이산 함수에서 미분 연산자<math>\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)</math>를 나타낸다.

== 같이 보기 ==
* [[합성곱 신경망]]

{{압축 방식}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:디지털 신호 처리]]
[[분류:푸리에 해석학]]