합동 (기하학) 문서 원본 보기

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[[파일:Congruentie.svg|섬네일|왼쪽 두 도형은 합동이고, 왼쪽 세번째도형은 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 마지막 도형은 나머지와 닮음도 합동도 아니다.]]

[[기하학]]에서 '''합동'''(合同, {{lang|en|Congruence}})은 두 도형이 모양과 크기가 같음을 나타내는 관계이다. 즉, 두 도형을 점집합으로 생각할 때, 하나에 어떤 [[등거리 변환]]에 대한 [[상 (수학)|상]]을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 두 도형이 합동이라고 한다. 서로 합동인 도형은 서로 닮음이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

== 정의 ==
'''[[등거리 변환]]'''은 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환이다.

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 두 도형 <math>M,N\subseteq\mathbb R^n</math>이 다음 조건을 만족시키면, <math>M,N</math>이 '''합동'''이라고 한다.
* <math>N=I(M)</math>인 [[등거리 변환]] <math>I\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>이 존재한다.

도형의 합동은 [[동치 관계]]를 이룬다. 도형의 합동은 [[닮음 (기하학)|닮음]]에서 닮음비가 1인 특수한 경우다.

== 성질 ==
=== 삼각형의 합동 ===
[[파일:Congruent triangles.svg|섬네일|[[평면 삼각형]]은 합동 조건 SAS, ASA, AAS를 갖지만, 합동 조건 SSA를 갖지 않는다.]]
두 삼각형이 합동이라면, 이 두 삼각형의 세 쌍의 변(의 길이) 및 세 쌍의 각(의 크기)은 각각 같다. 각 쌍의 변을 '''대응변'''(對應邊, {{llang|en|corresponding sides}})이라고 하며, 각 쌍의 각을 '''대응각'''(對應角, {{llang|en|corresponding angles}})이라고 한다.

삼각형 <math>ABC</math>와 삼각형 <math>DEF</math>의 합동은 기호로 다음과 같이 나타낸다.
:<math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>
단, 같은 위치의 <math>A</math>와 <math>D</math>, <math>B</math>와 <math>E</math>, <math>C</math>와 <math>F</math>는 대응점이어야 한다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4 
}}</ref>{{rp|5}}

두 삼각형 <math>ABC,DEF</math>가 합동일 몇 가지 [[충분 조건]]은 다음과 같다.
* SSS(변변변): 만약 <math>AB=DE</math>, <math>AC=DF</math>, <math>BC=EF</math>라면, <math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>이다. 즉, 두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
* SAS(변각변): 만약 <math>AB=DE</math>, <math>AC=DF</math>, <math>\angle A=\angle D</math>라면, <math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
* ASA(각변각): 만약 <math>\angle A=\angle D</math>, <math>\angle B=\angle E</math>, <math>AB=DE</math>라면, <math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
* AAS(각각변): 만약 <math>\angle A=\angle D</math>, <math>\angle B=\angle E</math>, <math>BC=EF</math>라면, <math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 아닌 변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
* RHS: 만약 <math>\angle C=\angle F=90^\circ</math>, <math>AB=DE</math>, <math>AC=DF</math>라면, <math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>이다. 즉, 두 [[직각 삼각형]]의 [[빗변]]과 한 [[직각변]]이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.
* RHA: 만약 <math>\angle C=\angle F=90^\circ</math>, <math>AB=DE</math>, <math>\angle B=\angle E</math>라면, <math>\triangle ABC\cong\triangle DEF</math>이다. 즉, 두 [[직각 삼각형]]의 [[빗변]]과 한 [[예각]]이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.

그러나, 다음 조건 가운데 하나를 만족시키는 두 삼각형 <math>ABC,DEF</math>는 합동일 필요가 없다.
* SSA(변변각): 만약 <math>AB=DE</math>, <math>BC=EF</math>, <math>\angle C=\angle F</math>이더라도, <math>\triangle ABC\ncong\triangle DEF</math>일 수 있다. 즉, 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 아닌 한 쌍의 각이 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만, 이 각이 직각일 경우, RHS에 따라 합동이다.
* AAA(각각각): 만약 <math>\angle A=\angle D</math>, <math>\angle B=\angle E</math>, <math>\angle C=\angle F</math>이더라도, <math>\triangle ABC\ncong\triangle DEF</math>일 수 있다. 즉, 세 쌍의 대응각기 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만 이 경우 두 삼각형은 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다.

== 구면기하학의 경우 ==
[[평면 삼각형]]과 달리, [[구면 삼각형]]은 합동 조건 AA를 가지며, 합동 조건 AAS를 갖지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[평면의 등거리변환]]
* [[등거리변환]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 기하학]]